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2° Chacune des trois composantes de la rotation élémentaire vérifiel'équation

d 2 '.»

if.

_ à<f d£

dx ~*~ dz

dhdy

da> dh

àf

■/) -

= —L. -| ---------------------

dy dx

dz

ç =

= ïï + î£-

dg

dz dy

dx

(a) FAc,,- —=0,

où V est la vitesse de propagation des ondes transversales.

A ces remarques intuitives, Clebsch a ajouté le théorème suivant : Lal'orme la plus générale de trois grandeurs £, n, K capables de vérifier les équa-tions des petits mouvements est donnée par les égalités

(3)

\

où y est une intégrale de V équation de la dilatation (i), tandis que/, g, hsont trois intégrales de Y équation des rotations (2) ; ces trois dernières peu-vent, en outre, être assujetties à la relation

df dçr dh ;

(4) -f + -p H- — =0.

v ' dx dy dz

Pour signaler l'importance de ce théorème, il suffira de faire observerque G. Kirchhoff l'a pris pour fondement de sa théorie de la diffraction.

Or, de ce théorème, Clebsch avait donné une justification dont on peutdire tout au plus qu'elle en indiquait la probabilité. Aussi avons-nous faiteffort pour en donner une démonstration convaincante. Celle que nousavions proposée en premier lieu (2, t. I), bien qu'offrant, croyons-nous, cecaractère de rigueur, était quelque peu compliquée; aussi en avons-nous, parla suite, donné une autre qui fût plus simple (a4i); mais la simplificationintroduite avait été, quelque temps auparavant, aperçue par M. Somigliana.

En nous efforçant à la démonstration du théorème de Clebsch, nousavons reconnu qu'il était susceptible d'une très grande extension (214).Il demeure vrai pour un système de trois équations aux dérivées partiellesd'une forme extrêmement générale. La dilatation 9 des trois fonctions £, vj, Çqui sont capables d'intégrer ce système vérifie une certaine équation auxdérivées partielles. Chacune des trois composantes de la rotation élémentairevérifie une autre équation aux dérivées partielles.