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Considérons, tout d'abord, les fluides exempts de viscosité.

La plupart des développements de l'Hydrodynamique sont, pour lesfluides exempts de viscosité, subordonnés à la restriction suivante : Il existeune fonction A telle que les équations de l'Hydrodynamique puissent semettre sous la forme

à A „ à A ' d A „

dx dy dz

où gx, gy> gz sont les composantes de l'accélération.

Or cette restriction ne se trouve vérifiée que dans certains cas particuliersque l'on peut distinguer et classer (63, 12).

La plupart des théorèmes dits généraux de l'Hydrodynamique ne sontétablis que dans les circonstances où il existe à la fois une énergie utilisableet une fonction A ; ces circonstances, peu nombreuses, sont les suivantes :

i° Le fluide est homogène et incompressible;

2° Le fluide est isothermique, c'est-à-dire qu'il est homogène, compres-sible, et qu'il est, en tous ses points, porté à une même température main-tenue invariable pendant toute la durée du mouvement ;

3° Le fluide est entropique, c'est-à-dire que l'entropie spécifique enchaque point est liée à la température en ce point par une relation quidemeure la même dans toute l'étendue du fluide et à tout instant.

Cette dernière catégorie comprend, en particulier, le cas où le fluide estisentropique, c'est-à-dire où le fluide se meut, à partir d'un état initialhomogène, de telle sorte que l'entropie de chaque masse élémentaire demeureinvariable.

De cette soi-disant généralité, que restreignent des bornes singuliè-rement étroites, nous devons nous contenter dans la plupart des théories del'Hydrodynamique; il nous en faut contenter, en particulier, dans l'étudede la stabilité de l'équilibre des fluides soumis seulement à des forcesextérieures (86, 218).

Pour les divers cas que nous venons d'énumérer, il est possible d'in-diquer les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'énergie balistiquesoit minimum dans un état donné; un tel minimum est toujours, d'ailleurs,un minimum .absolu. Ces conditions suffisent à assurer l'équilibre du fluide.

La recherche des conditions nécessaires est beaucoup plus malaisée;la méthode de M. Liapounoff et de M. Hadamard n'a pu être étendue, engardant toute sa rigueur, au problème hydrodynamique; pour la généraliser