70 Vom Aufheben.

Was hier von der Eigenschaft der Ziffer 9 entdecktworden, das findet sich auch bei der Ziffer 3. Zur nütz-lichen Selbstübung können hierüber ähnliche Untersuchun-gen angestellt werden.

Well nun die Ziffer 3 in 9 aufgeht, so beruhet auchihr Aufhcbe-Keunzcichen auf der Quersumme.

Von der Zahl 51.

Werden die einfachen Rangzahlen, von geraderAn-zahl Nullstcllcn, durch 11 dividirt, so rcstirt immer — 1;dahingegen bleibt bei ungeraden Nullstellen jedes Mal10 übrig. Z. B. 100 oder 10000, durch 11 dividirt, rc-stirt — 1, und bei 10, 1000, 100000 bleibt 10 übrig,folglich hier 1 zu wenig, und dort 1 zu viel. Wenn da-her dort i subtrahirt, und hier 1 addirt wird: so kom-men für Ii tbcilbare Zahlen heraus- Z. B. dort:100 — 1 — 99, oder 10000 — 1 — 9999; hier:

10 -j- 1 — 11; 10000 -j- 1 — 1001, oder 100000 Z-1 -I- 100001.

Aus dieser entdeckten Eigenschaft wird nun ein künst-liches Versuchungsmittel hergeleitet, um eine Zahl für dieDivision mit 11 zu prüfen.

Man addirt nämlich, von vorn oder hinterher, dieZiffern in den ungeraden Stellen, hernach auch in dengeraden Stellen; wenn dann der Unterschied dieserbeiden Summen durch Ii theilbar ist: so geht auch dieZahl selbst durch Ii ohne Rest auf. Z.B. In der Zahl15753716 ist die Summe der ungeraden Stellenlch-74-3-fti— 12; in den geraden Stellen

— 5-ft5-ft7-ft6— 23, folglich der Unterschiedbeider Summen — 23 — 12 — Ii, mithin durch Iitheilbar, so wie auch die Zahl selbst, denn der Quotientlst — 1032156.

In diesem Quotienten ist die Summe der ungeradenStelleil — iZ -3 -s- 1 -ft 6 — 11, und in den ge-raden Stellen ^st-s-2ft-5 — 11, folglich der Un-terschied dieser Summen — 11 — 11 — o, also durch

11 theilbar, darum auch die Zahl selbst, denn ihr Quo-tient ist — 130196.

Dieser Quotient hat in den ungeraden Stellen zurSumme 10 — i 0 9, und in den geraden auch 10

— 3 -ft 1 4- 6, mithin zum Unterschied dieser Sumuicii