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MANIERE DE CALCULER LES LOGARITHMES.
Le sinus de 2oo /; ou 2' équivaut à
o, ooo 5 i 4^92 60191 27; ici la différence est — 24 = — 21 — 3 dont ,les racines sont — 6 et — 2 ou bien — 24 = — i 5 — 6 — 3 dont lesracines sont — 5 — 5 et — 2 ; je puis donc corriger les différences troi-sièmes de deux maniérés, ou en diminuant d’une unité la sixième et la se-conde en montant , ou en diminuant d’autant la cinquième , la troisièmeet la seconde comptées de même. De l une et de l’autre maniéré on arriveraà o, ooo 3 i 4 1 ^ 9 2 60191 27 ; mais les deux suites étant prolongées jus-qu'au sinus de 3 ', elles 11e donneront pas le même résultat pour le sinus de5 ' ; il faudra donc rejetter celle dont le résultat différera le plus du sinusde 3 ' calculé par la formule Q. Ces différences dans les résultats ne rou-lant que sur lesdernieres figures , on peut dans ces sortes d'épreuves faireabstraction des premières, et n’opérer que sur les quatre ou cinq dernières ,comme on le verra ci-dessous. Si la différence se trouve plus grande que110 , on en concîuera que l’erreur vient de plus haut, et l’on décompo-sera la différence précédente en nombres triangulaires plus grands que ceuxqu'on avoit choisis. C’est ce qui a lieu dans notre exemple; la premièrecorrection donne un sinus qui diffère de celui de 3 ', de 198, et celui quedonne la seconde en diffère de 273. Je fais donc, — 24 — — 28 -H 10 — 6dont les racines sont — 7 + 4 et — 3 ou bien — 24 = — 36 + 2 X 6 dontles racines sont — 8 et 3 . Je puis donc diminuer de 1 la septième et la troi-sième différence et augmenter de 1 la quatrième, ou bien diminuer de 1 lahuitième et augmenter de 2 la troisième. La première maniéré donne pourle sinus de 3 ' un nombre qui diffère de 120 du vrai ; celui que donne laseconde n’en diffère que de 1 , comme 011 le voit par la table suivante oùla colonne A contient les quatre dernières figures des sinus ; la colonne D fles quatre derniers chiffres des différences premières ; la colonne D f/ lesquatre derniers des différences secondes ; et la colonne D' !f les différencestroisièmes.
Le sinus de 3 oo w ou 3 ' calculé directement est 0* 00047 12388 80697 44celui que donne la table suivante n’en diffère que de — 1 ; il faut donc di-minuer de 1 la derniere différence troisième ou la première, en comptantde bas en haut.
Cette correction étant faite et la table étant prolongée jusqu’à 4°° ,f 1 ontrouve que le sinus de 4 °° f/ se termine ainsi 7694* ^ même sinus donnepar la formule Q est,
o, 00062 83184 69376 26;la différence de ces deux sinus est,
68 ~ 55 + 10 + 3 = 4 ^ + 21 + 3 — 1
= 56 + 28 -h 3 + 1 = 28 + 21 -f- 16 + 5 + 1dont les racines sont,
+ 10 + 4 et + 2 ; +9 + 6 + 2 et — 1 ;
+ 8+ 7 + 2 et+ l; + 7+ 6 + 5 + 2et+l.
De ces quatre décompositions, la seconde doit être préférée. En l’em-ployant, c'est-à-dire, en augmentant la neuvième, la sixième et la secondedifférence troisième, d’une unité, et diminuant d’autant la première en mon-tant , 011 obtient pour le sinus de 400^ la même valeur que par la lormuleet pour celui de 600^ une valeur qui ne diffère de la vraie que de ] 5 qn ondécomposera, comme ci-dessus. En continuant ce procédé , on arrêterasans cesse les progrès des erreurs: il ne subsistera que celles qui sont iné-vitables. Ces petites erreurs n’affecteront que la dix-septieme décimale .les précédentes ne s’en ressentiront pas ; 011 aura donc le degré d’exacti-tude désiré. J’appellerai ce procédé Méthode des coJitrerreurs ; en effet, Ipour parer à certaines fautes, que fais-je? d’autres fautes en sens contraire.
On voit ce qu’il y auroit à faire si l’on devoit calculer les termes d’unesuite par le moyen des différences quatrièmes , cinquièmes, sixièmes , etc.
Ce qui précède suppose qu’on ait de dix en dix les termes de la suite enquestion. Il subit de les calculer directement de cent en cent, puis parlaméthode précédente , on pourra les obtenir de dix en dix ; mais il faudra