rOB MULES LOGARITHMIQUES.
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Substituons , dans la formule A , 2 A n à A n ; 3 A n à A n , 4 A « àA « ; etc. 7jz A zi à A K. il viendra des équations , A' ; A" ; A ' 11 ; A iY ;A r ; etc. qui, combinées comme il suit ,
A' — a A ; A" — 3 A' -H 3 A ; A'" — 4 A" + 6 A' — 4 A ; etc.donneront une foule de formules qui sont les cas particuliers de la suivante.
777 ( 777 - 1 )
L. (72 + 777 A 72 ) = 777 L. ( 77 + (772 - I ) A 72 )-
L. [ 72 + (772 - 2) A 72 ] +
772 ( 772 - 1 ) ( 777 - 2 )
. L. [ 72 + ( 772 - 3 ) A 72 ] - etc.
I L. 72.
(nr)
X
(
■772 ■ ( 772 — 1 < ' m -— . ( 772 — 2) m . . . + 772 )
2 y
A n \ m î
(
+_i_ . ■ - x
m + î ' b /
m + î m.(m — i )
711 -h1 _ / x
m — m . (m — 1 )
(772 — 2 )
X
772 —|— 2
- 772 . ( 772 - 1 )
772 +2
777 .( 772 - I )
(772 — 2 )
m -f- :
dr ..(E) ^
Le signe supérieur a lieu quand, in est pair. En opérant (le meme surla formule B , on arrive à une formule F qui ne diffère de E * qu en ceque A n y est négatif.
En opérant de même sur les formules C et D , on arrive aux formulesqu’on obtiendront en combinant E et F par voie d’addition et de sous-traction.
L’application de ces formules à la recherche des logarithmes est très fa-cile , ainsi qu’on va le voir par les exemples suivans.
. . A n î
Soient ?i d- A n = 2 ; et n — A n =■ 1, ce qui donne —— — ^ ;
la formule D devient L. 2 = 2 /c ^ —h ^ H- etc. ^
ou L. 2 = k X o, 6 g 3 i 4 71805 69946 3 og 4 i 72^21 21458donc L. 4 = 2 L. 2 ; L. 8 -= 3 L 2 ; etc. seront connus.
Soient w + A « = 3 ; et n — A n — 2 ; la formule D devient
L. 3 = L. 2 + 2 4 ( \ + etc. )
ou L. 3 .= A X i) 098G1 22886 6810g 6913g 52452 36923donc L. 6 = L. 2 + L. 3 ; L. g = 2 L. 3 ; L. 12 = 2 L. 2 + L. 3 ; etc.seront connus.
Soient 72 + A 72 = 5 et 72 — A tz == 4 ; la formule D devient
L. 5 = L. 4 + 2 A ( - + —-—5- + —-— + et c. )
' 9 . 5 . 9 5.9 y
ou L. 5 = A X i> 60943 79124 34100 37460 07593 33226donc L. 10 = L. 2 + L. 5 ; L. i 5 = L. 3 + L. 5 etc. seront connus.
On calculera de même les logarithmes des autres nombres premiers7 , 11, i 3 , 17 , etc.