1362 Kugelspiegel.

nicht blofs diejenigen Fälle, wo die beiden Winkel, welche dievon P und Q ausgehenden Linien mit dem Radius CE bilden,an verschiedenen Seiten des Radius liegen und gleich sind, son-dern auch die Fälle, wo sie an einerlei Seite der Normallinieliegen und gleich sind. Der Kugelspiegel giebt in B und in Rkeine Reflexion des von P kommenden Strahles nach Q hinaber die Linien P B, Q B undPE, QE machen dennoch gleicheWinkel mit der an den Kreis in B, E gezogenen Tangente.

KaSTWER findet es am bequemsten , die trigonometrischeDarstellung so anzuordnen , dafs P C Q — 2 a gesetzt wird unddie Winkel RC A := qp von der Halbirungslinie CR an gerech-net werden. Dann wird Tang. PAa = Tang. Q A a =a Sin. (a —qp) A . Sin. (a -|- qp)

a Cos. (a — qp) — r A . Cos. (a -j- qp) — r ’wenn CQ = a, CP = A ist. Daraus ergiebt sicha A Sin. 2 qp

T A Sin. (ct -j- <p) — a Sin. (a — qp)*

Hier zeigt sich sogleich, dafs r zweimal = ü wird, sowohlwenn qp = 0, als auch, wenn qp = 90° ist; dieses zeigt dievorhin gezeichnete Curve, die in C einen doppelten Punct hat.Für qp = cs wird r = a, das heifst, ein unmittelbar an die Ku-gelfläche angelegtes Auge würde den leuchtenden Punct in ebendem Puncte sehen, wo es sich dicht an derKugelfläche befindet.Und ebenso wild r == A fiir cp = — a. Die Curve geht daherdurch P und durch Q.

Die Curve hat eine gerade Linie zur Asymptote. Man findetnämlich r = co , wenn a . Sin. (« — qp) = A . Sin. (a -f- qp) oder

_ (a A) Tang, a

Tang, qp — -

-, das heifst, wenn cp derjenige ne-

(A + a)

gative, von R gegen P gerechnete, Bogen ist, dessen Tangente

A — aA -j- a

Tang, a , so ist r unendlich. C S , C T sind die bei-

den Enden dieser Asymptote.

Die allgemeine Gleichung zwischen r und qp giebtdr (A Sin. (a-j-qp) — a Sin. (a — <p))

— 2 a A d qp Cos. 2 qp — r d qp (A Cos. (a + qp) + a Cos. (a —q>))2 a A . d qp „ .

und dr wird = —-——-, wenn cp = 0 ist, folglich ist

(A — a) Sin. a