Analysis (Mathematik). 6VS

z» welcher man sonst NM' dnrch Intuition, indeminan die A. mehr oder weniger unbewußt imKopse anwendet, oder dnrch Probircn gelangt.Der Ausdruck analytischer Beweis ist falsch, einBeweis ist immer synthetisch. Den Unterschiedzwischen Synthesis und A. könne» wir, wie folgt,erklären: Während die Synthesis darin besteht,von der Summe bereits gewonnener Erkenntnißzu dem fortznschreitcn, was dnrchZusammensetzungu. Combination des Vorhandenen sich ergibt undalso von erwiesenen Prämissen nach den Regelnlogischer Schlußfolgerung zu neuen Schlüssen über-gebt, sucht die A. einen Lehrsatz, den sie zu be-weisen, oder eine Aufgabe, die sie zu losen beab-sichtigt, so lange zu zergliedern, bis sic de:, Zu-sammenhang derselben mir solchen bereits erwiese-nen u. bekannten Sätzen sinder, ans denen sichdas Gesuchte herlcitcn läßt. Von den Alten wirddie Erfindung der A. dem Plaro zngeschrieben.Sie verstanden darunter die analytische Methodenur in so fern, als sie ans geometrische Untersuchun-gen angewandt wurde. Die Neueren folgten ihnenzunächst darin; als man aber anfing, die Arithmetikans die Geometrie anznwcndcn, geometrische Aufga-ben mittels jener löste, übertrug man den Nainen A.auch ans die arithmetischen Äsungen geometrischerProbleme u. auf arithmetische Lösungen überhauptum so leichter, als der enge Zusammenhang allerdieser erkannt wurde. Tann richtete die Arith-metik ihr Augenmerk ans Forschungen, die fürjene Zwecke nützliche Resultate ergaben, n. so ge-wöhnte man sich allmählich, den Inbegriff allesLessen, was für die geometrische A. von Werthwar, A. zu nennen, woraus sich der Begriff A.als Wissenschaft entwickelte.

8. A. als Wissenschaft. Nach Erfiudnngder Differential- und Integralrechnung bezeichnekeman diese mit A., weil sic verhällnißmäßig ein-sachc und leichte Auflösungen von mathematische»,vorzüglich geometrischen Problemen ermöglichte,die znm Theil bis dahin der Kunst der Mathe-matiker widerstanden hatten, oder deren Lösung we-nigstens außerordentlich schwierig gewesen war. Jetztsaßt man den Begriff weiter u. versteht unter A.denjenigen Theil der reinen Mathematik, welcherunter Zugrundelegung unbestimmter, durch Buch-staben bezeichnercr Zahlcugrößcn die Eigenschaftenderselben allgemein, d. h. ohne Bezugnahme auf Zah-len, Längen, Kräfte rc., untersucht. Die Vorstellungeiner stetigen, lückenlosen, unendlichen Zahlenreihe,dercnMöglichkeitn.Norhwendigkeitdie niedere Arith-metik zeigt, bildet die Grundlage derselben. Wäh-rend Arithmetik und Algebra nur Größen behan-deln, die entweder schlechthin unveränderlich, oder,wen» sind Änderungen unterworfen sind, als ansdiscreten Theilen zusammengesetzt angesehen wer-de» n. sich also sprungweise ändern, läßt die A.gewisse Größen sämmtiiche Wertste der nnendlichenZahlenreihe annehmen, so daß ihre Wertste nichtmehr sprungweise in einander übergehen, sonderneine stetige Reihe bilden, u. nennt sie veränderlichoder variabel. Auch theilt sie die Größen nicht,wie die Algebra, in bekannte n. unbekannte, son-dern in veränderliche n. unveränderliche oder con-stante, welche letztere nur einen, im Allgemeinenfreilich auch nicht näher bestimmten Werth habe».

Jene bezeichnet sie mit den letzten Buchstaben desAlphabets, r, zy r rc., diese mit den ersten, a,b, o rc. Ist eine Größe in irgend einer bestimm-ten Weise von einer Variabel» abhängig, entstehtsie also dnrch irgend eine bestimmte Rechnungans ihr, so heißt sie eine Function derselben,die für verschiedene Wertste der Variablen meistverschiedene Werthe und zwar eine continnirlicheReihe von Werrhcn anuiutint. Sie heißt abhän-gig veränderlich, im Gegensätze zu der unabhän-gig veränderlichen Größe, von der sic eine Func-tion ist. Gegenstand der Untersuchungen der A.sind die Functionen, ihre Natur, Eigenschaften,ihr Zusammenhang unter, Veryälmiß zu ein-ander rc., weshalb man die A. auch Theorie derFunctionen nennen kann. Soweit sie ihre Unter-suchungen ohne Zuhilfenahme unendlich kleincrGrößen macht, heißt sie algebraische A. (s. n.)oder allgemeine Arithmetik, niedere A. oder A.des Endlichen; endlich ist hier also der Gegensatzzu unendlich klein, nicht aber zu unendlich im ge-wöhnlichen Sinne, als unendlich groß; das Un-endliche, unendliche Reihen rc. werden vielfach inder A. des Endlichen behandelt. Sie untersuchtmit den Mitteln, welche Algebra u. niedere Arith-metik biere», die Functionen, die sich in letzterenfinden, also Summe, Differenz, Product, Quo-tient, Potenz (Wurzel), Erponentialgröße, Loga-rithmus, ferner die gonioinetrischen n. cyklomctri-schen Functionen, insoweit es ohne höhere A.möglich ist, führt imaginäre Größen u. complexcZahlen ein, zeigt, Laß das Zahlengeüiet nichtunter dem Bilde einer unendlichen Geraden, son-dern einer unendlichen Ebene vorstellig gemachtwerden muß, und leitet durch Betrachtung derWerthe, welche die Functionen annehmen, wennsich die Variablen dem Unendlichen n. 0 nähern,also unendlich groß oder unendlich klein werden,der sogenannten Grenzwerthe, aus die höhere A.über. Sie gibt als ersten Theil eine elementareTheorie der allgenieine» Eigenschaften der Func-tionen u. als zweiten Theil eine specielle Theorieder oben angeführten Functionen; sie ist die Ein-leitung in die A. des Unendlichen. Vgl. Euler,knkrsäuotis in annkz'mn intinitornm. Lcyd. >797;Conchy, 6oura ä'miitkxse alAsbrimw. Pac. l824,deutsch von Huzler, Königsb. 1828; Schlümilch,Handbuch der algebraischen A., i. bl., Jena 1868.Der zweite und Haupttheil der A., die A. desUnendlichen oder höhere A., führt unendlich kleineGrößen in die Betrachtung ein, schafft vermittelsihrer die neuen Rcchnnngsarten der Differential-,Integral- und Variationsrechnung, und erhältan diesen Werkzeuge von erstaunlicher Wirksamkeit.Mit deren Hilfe entwickelt sie die allgemeineTheorie der Eigenschaften der Functionen über-haupt u. specielle Theorien der schon genanmenund der höheren Functionen, wie der Gamma-,elliptischen, Abelschcu Functionen rc. Vgl. Schlö-milch, Compcndimn der höheren A., Braunschw.1874; Moigno, Iwyons äs ealonl äikksrsnbislsto., Paris 1844. Die große Wichtigkeit der A.beruht darin, daß sie durch Einführung stetig ver-änderlicher allgemeiner Größen eine Anwendungder Rechnung u. ihrer Resultate ans die stetig ver-änderlichen Größen des- Raumes u. der Zeit er-