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Analysis (Mathematik).
rcnde genannt. Der Unterschied zwischen der ana-lytischen nnd synthetischen Methode wnrde zuerstvon den Philosophen der Metrischen Schule, na-mentlich von Sliipo angedcnlet, ist aber erst inneuerer Zeit durch .staut (Kritik der reinen Ver-minst) genauer bestimmt.
II. Mathematik. .1. Methode zur Auslösungmarhemat.Aufgaben, auch analytis che Methodegenannt. Sie ist das allgemeinste u. genau ge-nommen einzige Verfahren, durch welches mauplanmäßig zur Veautwortnng mathematischer fra-gen gelangt, li. besteht darin, daß man die Aus-gabe als gelöst ansieht nnd mittels dieser ange-nommenen Äsung einen Weg sucht, ans dein manzur wirkliche» Äsung kommt. Sic dient sowolbei Berechnungen (1. arithmetische A.), als beiAuffindung von Constrnctionen (2. geometrische A.)n. von Beweisen (3. analytische Beweismethode).Bei I. n. 2. beantwortet man zunächst die gestell-ten Fragen durch eine oder mehrere unbestimmteGrößen nnd untersucht, wie diese beschaffen seinmüssen, uni der Aufgabe zu entspreche», in welchemVerhältnisse sie zu den in der Aufgabe gegebenenbekannten Großen stehen, indem man sic mirLiesen den Bedingungen der Ausgabe gemäß ver-knüpft. Hierzu je ein Beispiel: l. ArithmetischeA. Eine Gesellschaft bestehr anS M> Personen,darnmer 8 Frauen mehr ais Männer, doppelt soviel Kinder als Erwachsene. Wie viel Männer,Frauen, Kinder sind es.'? Tic als Unbekannteangesehene Anzahl der Männer wirb der Aufgabegemäß mil den gegebenen Großen durch eineGleichung in Verbindung gebracht n. daraus be-rechnet: die Anzahl der Männer als x gesetzt, istdie der Frauen x -st 8, die der Erwachsenenx -st (x -st 8) — 2x -t- 8, die der Kinder2. ( 2 x st 8) — tx -l- !,'< Alle zusammen sind'.nt, also ist x -st (x -st 8) -st (Ix -st Uli —tzx -st 2 l — M'>, Nx — m> — 21 — 72; X — l 2.Die Amwdrt ist: 12 Männer, 20 Frauen, stl Kinder. 2. Geometrische A. Man führt die ver-langte Consirnclion auf schon bekannte n. alwansführbarc dadurch zurück, daß man sich eine un-gefähre Figur entwirft, von der man voranssem,daß sie die 'Aufgabe erfülle, daß man hieraus diesich zunächst darbictenden Hilfslinien zieht, z. B.Berbindmtgslinien verkommender Punkte, Ver-längerungen von Pinien bis zmn Durchschnitt n.
, dgl.,n. durch die Eigen-
- schanendersich so ergeb-
enden Figur LcilFnsam-menhang der gesuchtenGrößen mit den gegebe-nen zu erforschen lucht.Eine gegebene Pinie sozuweilen, daßdasRcchi-, ect ansderpinien.einem
s > Tyeil derselben gleich
^ dem Quadrat über dem
> anderen Theit ist lEukl.
0 , Limo. II. >1). Tie ge-
gebene Pinie sei AL(Fig. 1 .) Ick nehme an,! Laßsie i» k ans die vcr-
...iK lcingteWeisegetbeilt sei,
conslunie über KL das
mache ki-ll! in k so !Ist I st ! - -
L.-X
All.
Hst .
X
c'
lk.A
Quadrat KIM st! u. über AK das Rechteck LKKA,wo Kd' — HL ist; dann ist LKKA — KL 1)0.
Ich verlängere die betreffenden Linien bis L ». stl,halbire LO in I, errichte über III das QuadratILDIx, über LI das Quadrat OlLK, verlängereLA bis stl; so ist AI KOL --- KOK), weil AK ^stil, KO — Ist); I.stfkA — OILstst weil In) —t)I' — 01 ^ Iv; also ()ItX l -st AKOK -stI.chlststl — t)ILO -st Ist;Ich. -st 01 IM oder »ILI(
— KOLO -st OILK, n. weil KLI'O — LKKA,auch I)II.Ist ^ KOLK -st LKKA -st OILX —LOLA -st OILst; also I>I- — AL-- -st LI-;
LI aber ist ein ^LO — ^LA: damit ist dieConstrnction ausführbar, wie sie weiter nmen ange-gegeben wird. 3. Analytische Beweisme-thode. Man sicht den zu beweisenden Satz alsrichtig a» n. zieht ans dieser Voraussetzung unterZuhilfenahme von erwiesenen Sätzen nnd event.von Hilfsconsirnctionen Folgerungen, bis man aufeinen Lay kommt, der als falsch oder richtig fcst-steht. Fm ersten Falte ist der zu beweisende Satz !
falsch, im zweiten richtig; der Beweis geht denFbcn versoigten Weg rückwärts. Soll ich ;. B.
! untersuchen, ob die Eonstrnctio», wie sie anS 2. i
shcrvorgcht, richtig ist, so ist das ein Beispiel ^
i hierzu. Lehrsatz: Errichte im Endpnnlte L einer f
A'inie AL eine Senkrechte LI — -AL, zieheIA, verlängere IL, bis IL — Ist ist, mache kk... y — LI), so ist AK,
^ getheilt, daß AK
KL- ist iFig. 2). Ich^ ziehe nach Bedarf die Hilfs-1 linicn der Figur l, so soll/ / ! LIMA ^ KLIX! sein;
! dann müßte auch LKKA -st! KOLK, d. i. LOLA -f KLDO -st KOLK, d. i.
! KOIX!: LOLA -st OIM
^ KOIX'-st I.i.)KA „veil
^ OILX — I.tskstl l — t)i>XI-st IA.)KAI -st AIKOL sweil KOL) — AIKOL)
— KILL: oder AL"- -j- Lk ^ LI- — Ak
sweil LI — AI) fein, und LaS ist nach dem^ Pythagoreischen Ährsatze richtig. .Hiermit istdas analytische Verfahren zu Ende, jedoch ist derBeweis noch nicht geführt, ebenso wenig wie amEnde von 2. die Eonsirnclion gefunden war.Das Bestimmen dieser selbst, wie sie nmer !!.sicht, und so auch der Beweis selbst, gehörtnicht mehr zur Analysis, sondern zur Syn-thesis, die jedesmals ans die 'Analysis folgenmuß. Ter Beweis wird lauten: Es ist AL--st LI- — AI- (Pythagoreischer Lehrsatz', alsokt!LA -st VISA — I.ILL .denn AI — KI. 'AI'-- — 01-); ferner LOLA ^ KILL -I.()KAI sdenn 01LX ^ L()KA>); LOL.) !
— ()ILK — KOK)" ^ KILL — IA)KX ^
— I)IKL — Alklüx idem, AII'OL — >
KOL)',; d. i. LKKA — ri'.l'C, AKAL
KL-, was zu beweisen war. Es ist klar, daßdie Analysis mrr zmn Anffinden des Wegesführt, welchen die Synthesis in umgekehrterWeist wie jene einschlagen muß; jenes ist jedochdie Hanplsache. Die A. ist sonach anscheinend einindireclcS Verfahren, in Wahrheit aber ein di-rektes, denn es führt ja zu diesem, zur Symhcsis,