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Kopf- und Tafelrechnen besteht also ni cht darin, daßman bei jenem den Kopf, bei diesem nur Hand undAuge gebraucht, sondern

a. darin, daß man beim Kopfrechnen an gar keine Zeichen,also auch an keine Ziffer denkt, bei dem schriftliche» Rechnendagegen die Zahlvorstellungen und die Operationen, die man mitihnen vollzieht, sichtbar darstellt;

b. darin, daß man leichtere Aufgaben mit nicht allzngroßenZahlen frisch und rasch weg, ohne Griffel und Feder, schwere da-gegen mit großen Zahlen, die nicht leicht zu behalten sind, dergrößeren Sicherheit wegen schriftlich ausrechnet. (In der Beur-teilung, d. h. in der Erkenntnis der Abhängigkeit einer Zahl voneiner andern, kommt — wie schon bemerkt — gar kein Unterschiedvor. Deshalb kann auch eine sogenannte Probe nie die Falschheitder Beurteilung, sondern nur sogenannte Rechnungsfehler herans-bringen.) Dieselben Aufgaben, die daher von stärkeren Schülernohne äußere Erleichterungs- und Hilfsmittel gelöst werden,werden von schwächere» ganz oder .teilweise durch Mitgebranchder Ziffern behandelt. Der Unterschied zwischen Kopf- und Tafel-rechnen ist darum kein objektiver, sondern ein subjektiver;

e. darin, daß man sich beim Nichtgebrauch derZiffern, d. h. beim Kopfrechn en, viel freier bewegtals beim Zifferrechneu.

Das Rechnen mit Ziffern geschieht, weil schriftlich, oft odermeist um anderer willen, welchen man vollzogene Rechnungen vor-legen will. Um des allgemeinen Verständnisses willen ist mandarum über bestimmte Darstellungsweisen übereingekommen, vonwelchen man sich auch schon deswegen nicht zu entfernen hat, weilsie in der Regel in scharfsinniger Weise einen möglichst kurzen undleicht zu übersehenden Weg einschlagen. In dieser Beziehung herrschthier die Gebundenheit. Beim Kopfrechnen herrscht dagegen vielmehrFreiheit, welche eigene Bewegung, Auswahl und Belieben znläßt.Darum lieben geistig bewegliche Kinder so sehr das Kopfrechnen.Es gefällt ihnen, eine Aufgabe in mannigfaltiger Art, ans ihreWeise zn behandeln. Auch trägt diese Seite des Kopfrechnensviel zu seinem bildenden Einfluß bei. Denn dadurch wird es