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ungewöhnlicher Aufgaben, nicht die Schlichtung sehr zusammen-gesetzter, verwickelter Verhältnisse, nicht enorme Fertigkeiten. Dieallgemeine Volksschule hat die allgemeine», nicht die besonderenBedürfnisse zu berücksichtigen, jenen aber in vollem Maße zugenügen.

4. Da es nur ei» Rechnen, nämlich ein Rechnen mitVerstand giebt, so ist alles Rechnen Kopfrechnen oderKopf- nicht Handarbeit. Von einem Gegensätze zwischenKopf- und Tafel-, mündlichem und schriftlichem, Gedanken- undZifferrechnen kann daher nicht die Rede sein. Diesen vermeint-lichen, leider noch nicht ganz veralteten Gegensatz muß man erstim Bewußtsein ganz vernichte», ehe man das richtige Verhältnisanfznfassen im Stande ist.

Man rechnet überall mit Zahlen, d. h. Vorstellungen vonZahlen oder Mengen von Einheiten. Diese Zahlenvorstellungensind von äußeren Zeichen ganz unabhängig, wenn man sie auchzu Anfang durch Äußeres veranschaulicht und sich späterhin, z. B.bei verwickelteren Rechnungen, der allgemeinen üblichen Zahlzeichend. h. der Ziffern bedient. Das eigentliche Rechnen geschieht da-her stets ohne die Vorstellung irgend eines Zeichens. Es bestehtin der Erkenntnis der gegenseitigen Abhängigkeit der Zahlenvor-stellungen und in der Vollziehung dieser Abhängigkeit oder in derEntwickelung der einen Zahl ans der andern. Solches Rechnenhat man willkürlich Kopfrechnen genannt, und von Tafel-rechnen spricht man, wenn man sich der Ziffern bedient. Beidessetzt jederzeit in derselben Weise de» Gebrauch des Verstandesvoraus; beides ist also in gleicher Art Kopfarbeit. Deshalb stelleman beides in den: Unterricht auch gar nicht einander gegenüber.Sonst gelangt man zu einem gar nicht in der Sache liegende»,also unwahren, in seinen Folgen nachteiligen Gegensatz. — Alanuntersucht überall die Zahlenverhältnisse, übt sich in der Erken-nung und Anwendung derselben mit lauterem Verständnis undbedient sich entweder gar keiner, oder willkürlich gewählter, auchder herkömmlichen Zeichen in der einmal allgemein giltigen, darumzu lernenden Darstellnngsweise.

5. Der Unterschied zwischen dem sogenannten