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ist gar kein bildendes Rechnen möglich. Sie macht die Haupt-sache beim Rechneil aus, muß jeder anzustellenden Operation vor-hergehen und diese als notwendiges Resultat erzeugeil. Um dieArt der Ausrechnung muß man sich daher zu Anfaug gar nichtbekümmern, sondern nur nüchtern lind ruhig die gegebenen Ver-hältnisse betrachten. , Schlecht unterrichtete Schüler und Er-wachsene frageil immer gleich mit Unruhe und Ängstlichkeit danach,wie man eine Aufgabe aus rech net. Das findet sich aber ganzvoll selbst, sobald inan eine Aufgabe versteht. Versteht man sie! nicht, so liegt das entweder an der Nichtkenntnis der Sach-

1 oder an dem Mangel der Erkenntnis der Zahlenverhältnisse.

Die Kenntnis der Sache ist meist historischeil (empirischen), dieErkenntnis der Zahlenverhältnisse rationelleil Ursprungs. Ist da-^ her eiil Schüler unfähig, eine Aufgabe aufzulösen, so muß der

^ Lehrer untersuchen, worin dieses Unvermögen seinen Grund hat,

; ob iil dem einen oder andern, oder in beiden, um die Hinder-

nisse aus dein Wege zu schaffeil. Die anschauliche Durchsichtig-keit der Alifgabe und Lösung derselben muß aber stets der Aus-: rechnuilg vorhergehen, weil sich jenes zu diesem wie Grund und

' Folge, Ursache und Wirkung verhält.

2. Das richtige Rechnen muß man daher ab-hängig machen vom richtigeil Erkennen und voll-) kommener mündlicher Darstellung., nicht von Über-einstimmung des gefundenen Resultates mit dem' angegebenen Fazit, nicht von dein Bestehen einersogenannten Probe.

Dein Grundsätze: der Schüler darf nicht zum Ausrechuenzugelassen werden, bis er die Alifgabe durchschaut hat (einem) nicht durch falscheil Unterricht verleiteteil Menschen fällt so was

i gar nicht ein; aber in Schulen kommt solches nur zu häufig

) vor), muß mail den zweiten beifügen: Der Ausrechnung muß

t auch eine in jeder Beziehung genügende mündliche

^ Darstellung vorhergehen. Wie will man sonst erfahren, daß

s der Schüler richtig gedacht hat, und auf welch andere Weise will

Z mail deil Schüler nötigen, richtig zu denken? — Erst dann, wenn

z er die darin liegende Anforderung befriedigt hat, läßt man ihn