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K — 0 = X 1 -f- J 5 -[- Z 2 — 2 X tt- l

wo a eine gegen die Einheit kleine Gröfsc ist, deren Quadratwir vernachlässigen wollen, und wo u als eine Function Ton xund y angesehen werden kann.

* Dieangenommene Gleichung gibt

Substituirt man diese Werlhc in den Gleichungen II. des§. 6. , das heilst, in den Gleichungen 1 der kürzesten Linie zwi-schen zwey gegebenen Punkten auf der Oberlläche der Erde,so hat man

xd 2 y— yd 3 x — a

d ! y — a

xd 2 z—zd’

(n) *-•

yd 2 z—zd 2 y = a

d 5 z

Es sey r der von dem Mit telpunkte der Erde an seiner Ober-fläche gezogene Halbmesser , 3 der Winkel dieses Halbmessersmit der Umdrehungsaxe der z , und X der Winkel der Axc derx mit dem in der Ebene der xy projicirten Halbmesser, sn ist

x = r Sin 3 Cos X

y — r Sin 3 Sin Xz — r Cos 3

Die Differentialien dieser Ausdrücke in Beziehung auf r. 3,X geben

Xdy — ydx = r 5 dx Sin 5 3

xd z —zdx=r* (i^x Sin 3 Cos 3 Sin x — d J-Cosx)

zd y — y dz == r 2 (dx Sin 3 Cos 3 Cos X-f-d3 SinX)

also auch

(x d z — z dx) Cos X -f- (y d z — z dy) SinX = — r* d3und endlich

ds 2 = dx* + dy*-f-d z *—dr’ + r* dj'+r* tlX*Sin*>I. Man Stiche nun zuerst das Yerhältnifs von d> und d s,