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also die gesuchte Curvc eine gerade Linie. Sind die Leydenäul'sersten Punkte derselben fix, so verschwindet der andereTheil der Variation, welcher das Integralzeichen nicht enthält.Soll aber z B die gesuchte Curve an ihren Endpunkten dnrrhzvyey krumme Flächen begrenzt seyn, deren Gleichungen sind

dz' — m' dx' n' dy' für den Anfangspunkt

dz''= m"dx"-*- n'^dy" für den Endpunkt der Curve,

so ist der andere Theil der Variation

U 5 x -p us F + «' P' = o oder

U5x (ßy — p5x) P + (5z — p'5x) P' = o

Suhstituirt man aber in den beyden letzten Gleichungenfür dund dz" die Werthe dieser Gröfsen aus deii vorletz-ten Gleichungen, und nimmt ihre Differenzen, und setzt end-lich in den erhaltenen Ausdrücken die Factorcn der unter sichunabhängigen Variationen 5 x', 5x", 5y', Sv 11 , jeden für sichgleich Null, so erhält man

l -{- nF

’tj*L

11

o

und i -{-m"

cl 7, u

= 0

cl z'

d 7,“

l -j- n'

dy> = °

i + n''

dy" = °

und da diese Gleichungen die der Normalen auf jene bevdenFlächen sind, so mufs die gesuchte kürzeste Curve, oder diegefundene gerade Linie, auf jenen beyden Flächen senkrechtstehen.

Wollte man aber die kürzeste Linie auf einer gegebenenFläche zwischen zwey gegebenen Punkten dieser Fläche er-halten , so sey die Gleichung dieser Fläche

L =: o = Adx + Bdy + Cdz

wo A,B,C Functionen von xyz sind. Dies vorausgesetzthat man , wie zuvor,

ü = V" i-rp 2 +p /2 ,

N = N' = o

iihd daher die Gleichung (3)