und diese Ausdrücke sind offenbar den Factorn von

der letzten Gleichung gleich , also ist diese Gleichung

welcher Ausdruck mit der ersten der Gleichungen I. identisch ist«

Eine dritte merkwürdige Ableitung jener Gleichungen fürdie kürzeste Linie folgt endlich noch aus der Betrachtung, dafsdie krumme Linie , welche ein Körper , der gezwungen ist,auf einer gegebenen Fläche zu bleiben, auf dieser Fläche be-schreibt, w'enn keine äufseren Kräfte auf ihn wirken, immer diekürzeste Linie unter allen ist , w'elche man in dieser Fläche zwi-schen zwey äufsersten gegebenen Punkten ziehen kann.

III. Eigentlich gehört diese Aufgabe in das Gebiet der Va-riationsrechnung , von welcher wir einen der vorzüglichstenSätze hier kurz entwickeln wollen.

Es sey U eine Funktion von x y und z und den Differen-tiation dieser Gröfsen, und y sowohl als z eine Function von x,wie das bey den Gleichungen der Gurveu von doppelter Krüm-mung dpr Fall ist, so kann das Integral

als irgend eine Function dieser Gurre , ihr Bogen , ihre Flächeu. f. zwischen zw ey Endpunkten dieser Curve bet rächtet wer-den. Man soll von allen krummen Linien , welche zwischen jenenzwey gegebenen Endpunkten gezogen werden können, diejenigefinden, in welcher das Integral f U d x ein Grölstes oder einKleinstes ist.

Es spy der Kürze wegen dy := pdx,dp = qdx,dq = rdx.. und

und da, nach der Voraussetzung, U eine Function von y z pp /tj q'. . . ist, so kann man annehmen

d ü = N dy P dp + Q dq + B dr +

+ N'dz + P'dp' + <^'dq'-f- R'dr'-J-

Bezeichnet man die willliührlichcn Veränderungen, oderdie Variationen von y und z durch 6y und dz, so hat man fürdie Variation des gegebenen Integrals

ü./Udx =/$. (Udx) =/ (U.ädx + dx5U)

— U S x — /'5 x. d U +/d x b U

./Udx

dz = p'd x, dp'— q'dx, d q / — r'dx...