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Für eine Oberfläche , die durch die Botation irgend einerkrummen Linie um die Axe der x entstanden ist, ist die Glei-chung der Oberfläche

also wird die erste der Gleichungen I.

<l v dz

z d. — yd. -r- — Od s J d s

deren Integral, für ds = Const.

z dy ■— ydz = Ads - - - (tIL)

wo A die Constante der Inlegration ist. Diese Gleichung III.mit der gegebenen Gleichung

<p fr, x) — ö

reicht hin, die gesuchte liiirzcste Linie zu bestimmen.

II, Man könnte dieselben Gleichungen noch einfacher durchfolgende Betrachtungen findten. Die geodätische Linie ist nach demVorhergehenden einerley mit der, u eiche ein auf der gegebe-nen Oberfläche zwischen den beyden Punkten frey gespann-ter Faden beschreiben würde. Der Faden ist aber dünn freygespannt, oder alle seine Punkte sind dann unter einander imGleichgewicht, wenn der Druck, welchen die Spannung aufdie Oberfläche ausübt , in allen Punkten des Fadens senkrechtauf diese Oberfläche ausgeübl wird. Dieser Druck hat aber be-kanntlich immer in der F.beue des Krümmungshalbmessers statt:also ist die kürzeste Linie auf einer Fläche die, deren Krüm-mungshalbmesser alle auf dieser Fläche senkrecht stellen.

die Gleichung der Ebene der Krümmungshalbmesser, so ist dieGleichung der die Fläche berührenden Ebene

w = «p (r, x) = owo r s = y s -f> z= oderr Ir = y d y -)- z dz,

und daraus folgt

Ist also

* = <P ('$ y z) = odie Gleichung der Fläche , undx -{- A y -f- B z = ö