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gegen diese Ebene herab , und zwar so, dafs sieimmerdieselbenWinkel mit der den beyden Dreyecken gerneinschaftliehea LinieBC mache , und man sieht leicht, dafs mau sie nach einer auf dieseEbene senkrechten Linie biegen muf's. Sn ist also die prste Seiteder geodätischen Linie, deren Richtung willkürlich seyn kann,eine Tangente an der Oberlläche der Erde; ihre zweyte Seiteist die Verlängerung dieser Tangente nach einer Vertikalliniegebogen ; ihre dritte Seite ist die Verlängerung der zweyten , naclieiner Vertikallinie gebogen, und so fort für die übrigen.

Daraus folgt, dafs die so gezogene geodätische LinieAa..idie kürzeste Linie ist, welche man auf der Oberlläche der Erdezwischen den zwey Blinkten A und x ziehen kann. Denn ist D AI BE(lig.24) derDurchschnilt zweyer Ebenen, in deren erster der PunktA, und in der zweyten der Punkt C liegt, so ist die kürzeste Li-nie zwischen A und C jene, welche mit D E zu beyden Seitengleiche Winkel bildet. Ist nämlich AD = a und EC = c senk-recht auf dem Durchschnitte

D E — b und ist E = x, so istMC = =c 2 -J-x !! ,

AM 5 = a ! -f-(li — x) 3 also

AM 4- M C = + yV--ä- l>—xL

Setzt man das Differential dieses Ausdrucks gleich Nulj, $9erhält man

x

das heilst

V c 3 -j-x 3 = (b—x) : Y^ aS + l.h—x ) 2EI:MC -=DM: AM

und aus dieser Proportion folgt, dafsAMD =EMC

seyn nyufs , wenn AMC die kürzeste Linie ist.

1 Wir wollen daher die allgemeine Gleichung der kürzestenLinie au f einer gegebenen Oberlläche suchen.

Ist u — f (x, y,

d y d a y

d~V’ d? *

z.

d z d-x

(TA’ dl 3

■)

irgend eine Function der Gröfsen

x, y, z,

d y dzdx ’ d x ‘ ’

welcher Gröfsen Abhängigkeit von einander durch die Gleichung

d y d z

— ? (x ’ y ’ iu * • • • z * di • • •

ca