Ist e die Basis der natürlichen Logarithmen, und der Kürzewegen

fi "4* i

- = b, so läfst sich jene Gleichung auch so ausdrücken:

*V-

yV ■

J_1— ^ e

11

-y\/ —

,\T-

-1

he’

oder auch wenn man die Logarithmen dieses Ausdrucks nimmt,

— yV—' yV—'

x\/—1 =y\/—i-f-log(i—be ) — log(i'—be )

und wenn man diese Logarithmen nach der Reihelog (i —z) — — z — iz 3 — i z 3 —

entwickelt:

|-x = £y+b Siny \ b 2 Sin 3 y + •§ b 3 Sin3y + ... (7)

und diese Gleichung gibt den Werth von x in einer sehr ein-fachen Reihe, die nach den Sinus des Vielfachen von y fort-geht , die aber nur dann brauchbar ist, wenn b eine gegen dieEinheit kleine Gröfsc ist. Um daher auch für die Fälle, in denendie gegebene Reihe divergirt, einen für die Anwendung brauch-baren Ausdruck zu linden, wollen wir die gegebene Gleichungso darslellen: r

—1 — yV— 1

e = e

- f

-L

b 0

Verfährt man mit diesem Ausdrucke wie mit dem vorhergehen-den, so erhält man

x

2

Sin y

ab 2

Sin 3 y

' 3 b'

Sin 3 y

•(»)

und diese Reihe fängt da an brauchbar zu werden, wo die andereaufhört, so dafs eigentlich beyde zusammen als die vollständigeEntwicklung der Gröfsc x in eine Reihe anzuselien sind. Es wirdnun nicht schwer seyn , auch für die Entwicklung der Gröfse yin eine Reihe, die nach den Sinus der Vielfachen der x fort-geht, die beyden zusammengehörenden Auflösungen zu linden.Man wird erhalten

v i b 2 ]) 3

— --b Sin x — Sin 2 x — -rr Sin 3 x -|~

22 1 2 5 1

T = — 7- Sin x — ^Sin 2 x +3^3 Sin 3 x —

Man bemerke noch, dafs die gegebene Gleichung