Trigonometrie , welche letzte mir ein besonderer Fall von jenerist, da man alle Ausdrücke der ebenen Trigonometrie erhält,wenn man in denen der sphärischen die Seiten der Dreyecke un-endlich klein annimmt. Um diel's zu zeigen, beschreibe man uniden Anfangspunkt-der Coordinaten als Mittelpunkt mit dem Halb-messer r = 1 eine Kugel. Die verlängerten Axen der z und z'sollen die Fläche dieser Kugel respective in den Punkten BundA schneiden. Verbindet man die Punkte ABC der Kugelllächedurch drey gröfste Kreise, so hat man ein sphärisches DrcyeckABC. Wir wollen der gewöhnlichen Bezeichnung gemäfs , dieWinkel dieses Dreyecks BAC, ABC, BCA resp. A, B, C,und die Seiten BC , AC , AB desselben x , ß , y nennen. Mansieht leicht, dafs hier die Zeichen A , B, C und x , ß , y dievorige Bedeutung haben, also gelten die drey vorhergehendenGleichungen (a), (b) , (c) auch Jür sphärische Dreyecke.

Setzt man endlich in der Gleichung (c) für Sin y die Gröfse

Sin a S in C aus j er Gleichnng (a) , so hat manSin A

Cos A Sin B = Cos x Sin C — Cos y Cos B Sin Aund durch blofse Verwandlung der Buchstaben analog

Cos B Sin C = Cos ß Sin A — Cos x Cos C Sin BCos C Sin A = Cos y Sin B — Cos ß Cos A Sin C

Multiplicirt man aber die erste dieser Gleichungen durch SinB,die zweyle durch Cos A Cos B Sin C, und die dritte durchSin A Cos B, so gibt die Summe dieser Produkte, wenn manim Zähler alle Sinus in Cosinus verwandelt und bemerkt, dafs( 1 —■ Cos A Cos B Cos C) der gemeinschaftliche Factor desZählers und Nenners.ist, folgenden Ausdruck :

Cos A =. Sin B Sin C Cos a — Cos B Cos C . . . (d)und die Gleichungen (a) .. (d) enthalten alle zur Auflösung sphä-rischer Dreyecke nöthigen Ausdrücke.

I. Durch schickliche Verwandlungen lassen sich die gege-benen Ausdrücke zur Bechnung mit Logarithmen bequemer ma-chen. So gibt z. B. die Gleichung (b)

oder

l Cos B Sin a Sin y -f- (los a Cos y Cos ßSin a Sin y

1 -(- Cos B = ip Cos (a -}~ y) -|- Cos ß

woraus man leicht findet

Sin 2 — = Sin2

* + ß —7 Sin ß + y— g .

: Sin x Sin y

Cos . 5- = Sin ttl±l Sin : Sin « Sin y

2 Ä 2

Oder wenn man die Gröfsen <p und 4' so annimint, dafs man hat