§. 258. 585

also ist auch

17 e- -l- x" und .

v/ . -j- x- -ff p ^

und daher

^ L_ und ffl — (j> ^ o.

Es ist also auch der Theil des vorhergehenden Ausdrucks unterden Integralzeichen

ll r> ai"

<Ix ^ 6x ^

oder wenn man integrirt:

^ ^ ^ X,

^

und wenn man noch einmal integrirt:

/ — 5.x -s» 5^, 2 k!x -ffalso die gesuchte Linie wieder eine Gerade.

Sind die beyden äußersten Punkte derselben fix, so verschwindetder andere Theil der Variation ö/V8x, der das Integralzeichen nichtenthalt. Soll aber z. V. die gesuchte Curve an ihren Endpunkten durchzwey krumme Flächen bcgränzc seyn, deren Gleichungen sind:st?/ — ir>/llx/ -ff für den Anfangspunkt, und

äü" rn^stx^ -ff n"8/^ für den Endpunkt der Curve,so ist der zweyte Theil der Variation

Ilöx -ff -ff ^ o oder

IIöX -ff HS/ — PI öx) l? -ff HZ ^ x) ff/ o.

Substituirt man aber in der letzten Gleichung die vorhergehendenWerthe von 82/ und S?" statt S2, und nimmt wieder die Differenzen,so hat man, da die Größen Sxff Sx", S//, S/// unter sich unabhän-gig sind, folgende vier Gleichungen:

,6?/ . , ,,8?."

r -ff m^-7—7 0 und » -j- m"-— — c>,

6 x' ctx"

z ^— 0 » 1 1^// ^ — o

6/^ ' 6/"

und da diese Gleichungen die der Normalen auf jene beyden Flachenfind, so muß die gesuchte kürzeste Curve, oder die gefundene Gerade,auf jenen beyden Flachen senkrecht stehen.