§. 2S8.

Setzt man aber 6 s v/clx^ -s- cl/-, so ist

V — V» ^ ^ i -s. ^ ^ und

' ^ clx- äx

I, „ p cl>

/. -s-a«

Snbstitm'rt man diese Werthe von v und ? in den vorhergehen-den Ausdruck, so hat man

oder

cl 8 , üV / cl V X

— öx -s- —l l öv öx l --- o

cl x ^ cl 8 / ^ cl x /

Z7 -j- — o, oder endlich

^ c.. > /'.i. ^ ^ ^

cl 8

^ — öx.

cl 8 cl 8

Wendet man diesen Ausdruck für jede der beyden Gränzcurvenau, uud nimmt die Differenz beyder Ausdrücke, so erhält man für denerwähnten zweyten Theil

cl x" , clv" cl x' cl

-7—öx^/ -s- — -r-^öx/ ^ --- o,

cls" ' cl 8 cl 8^ ,1 8

oder wenn man die vorhergehenden Werthe von ö).> und ö)c" substituirt,

/.Ix" nc"cl)'"> ^ /äx-^-r/a/X ^ ^ ^

^ cl 8" / X cl s' /

Da aber die beyden Größen Sx^ uud ö x^ von einander ganz un-abhängig sind, so ist die letzte Gleichung den beyden folgenden gleich-geltend:

cl x^ -s- mck/c!// o und cl x^ -s- nr^cl^^ ^ o, oder

cl)'" c cl / i

cl x" iic" cl cM ^

und diese Gleichungen zeigen, daß unsere Geraden auf den beydenGranzcurven senkrecht stehen, oder denselben unter rechten Winkelnbegegnen muß, um die kürzeste Gerade zu scyn, die mau zwischen die-sen beyden Gränzcurven ziehen kann.

I. Sucht mau aber die kürzeste Linie im Räume, oder berück-sichtiget man auch die dritte Coordinate 2, so hat man für das Elementdes Bogens dieser Linie

>/clx- -j- clsl — gx>/l