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§. 253. (Kltt'Me Linie Mi'chcil zwei) gegebenen Punkten.)

Um die kürzeste Linie, die man zwischen zwey Punkten in einerEbene ziehen kann, zn finden, se hat man für diese Linie den allge-meinen Ausdruck

stVüxst -I- 6?- — /3x>/. -fi- x-,also ist auch, für unsere Aufgabe:

II >/. -f- x' und daher öll ^ .

l/ > st. x'

Vergleicht man diesen Werth von Sil mit dem der Gleichung (II),so hat man

/- st. p-

und alle übrigen Größen l^, lVd sind gleich Null. Es ge-

hen demnach die Gleichungen (!!) in folgende einzelne über:

3? ^ o, oder 3^> — c», oder endlich — o.

^ . tl V

Das erste Integral dieser Gleichung ist — d, und wenn mandiesen Ausdruck noch einmal integrirt, so erhält man

^ dx -s- O

für die gesuchte kürzeste Curve, die also, wie bekannt, die geradeLinie, ist.

Sind die zwey Punkte, durch welche diese Gerade gehen soll, ge-gebene feste Punkte, so sind die Variationen der Coordinaten derselbenfür sich gleich Null, und der zweyte, von dem Zeichen / unabhängige. Theil von öst'väx kömmt weiter in keine Betrachtung.

Nehmen wir aber an, daß diese zwey Gränzpunkte nicht bestimmtefeste Punkte seyn, sondern daß sie sich nur auf zwey Gränzcurven be-finden sollen, deren Gleichungen

3)-/ — in^3x> und3^// rn^3x /

sind. Um nun die zwey Punkte dieser Gränzcurven zu finden, durchwelche unsere kürzeste Gerade gehen soll, so hat man für den zweytenTheil von ö/klcl x in unserm speciellen Falle den AusdruckII ü x -s. ? o, o oderIIöX -j- U (ö— psx) — 0.

3. *