ckx, 6)? bezeichnet/ so ist daS Integral /Uclx, zwischen je zwey be-stimmten oder gegebenen Werthen von x, einer unendlichen Anzahl vonWerihen fähig / wenn man die Relationen zwischen x und / sich ändernläßt. Nimmt man, für einen speciellen Fall, v —/ an, so bezeichnetdas Integral //<lx die Fläche einer Curve, welche zwischen zwey ge-gebenen Ordinalen, zwischen der Differenz ihrer Abscissen und zwischendem Logen der Curve, der von jenen Heyden Ordinaten begränzt wird,enthalten ist. Allein diese Fläche wird verschieden seyn, wenn man,in der dem Integral /<lx zu Grunde gelegten Gleichung der Curve,verschiedene Cnrven annimmt, und man wird daher die Frage aufstellenkönnen: welche Gleichung einer Curve, oder welche Relation zwischenx und / muß man, unter alle» möglichen, wählen, damit die durchdieses Integral //clx ausgedrückte Fläche ein Größtes oder ein Klein-stes werde. Solche Fragen nun gehören in die Variationö-rechnun g.

Wenn z.B. MM/(Fig.5ß) dieseCurve ausdrücken soll, für welchedas Jnregral ss'Uüx ein Größtes ist, so muß dieses Integral für jedeandere Curve mm/ einen kleineren Werth haben. Um dieser Bedingungzu genügen, muß vor allem untersucht werden, welchen Einfluß eineÄnderung in dcrNelation von x und /, d.h. in der Natur der Curve,auf das Integral /Uäx hat. Bey dieser Änderung wird aber dieGröße/, unabhängig von x, sich ändern müssen, da, wenn manzwey Curven betrachtet, zu demselben x —^U zwey Ordinaten UMund Um gehören, und die Differenz M m dieser Ordinaten muß vonden Differenzen UM/ und vm/ wohl unterschieden werden, da dieseletzten zwischen zwey nächstfolgenden Ordinaten derselben CurveStatt habe». Ans diesem Grunde unterscheidet man auch diese beydenDifferenzen der Ordinaten, selbst wenn sie unendlich klein genommenwerden, durch besondere Zeichen. Heißt nämlich M/U —cl/, daSDifferential von UM---/ i» derselbe» Curve MM/, so ist Mm---ö/die Variation von derselben Ordinate UM —/, wenn man von einerCnuve MM/ zu ihrer nächstfolgenden mm/ übergeht.

I. Zieht man mr mit MU, und ms mit MM/ parallel, so hat

man

U/M/ — / -s- 6/ und Um — / -s- S/.

Geht man dann von dem Punkt M zu m/ über, so erhält manU/m/ — Um -s- rs -s- sm/ — / -s- s/ ü/ -s- s cl /

— 7 -ff cl / -s- ö . (/ -s- ü /).