474 Z. 2S4.

, .2 3 l 7 1- c,

».2.3 8 l ^ si (H/,

^ (x -j- l) ^x -^- 2) (X-j- I) (x->- 2)

,.2.3.4 3 ! — — s. O,

X (x-j-2) tx-Z^3) (x >) (x^si 2) (x-si 3)

wo die Coustante Os, O" —^:c. ist. So

gibt z. B. die^letzte Gleichung für die Reihe

' ! ' , ' ,

1.2.3.4 ^ 2 . 3 . 4 . s ^ 3 . 4 . s . t> ^ '

das summatorische Glied —-^— — 7-^-. Setzt mau

3 (x-j- >)(x-j-2) (x-l-3) ^

in diesem Ausdrucke x 1, 2, 3..., so erhält man für das ersteGlied 7^, für die Summe der zwey ersten 7^, für die der drey ersten^ --. f. f.

Z. 2S4. (Gleichungen mit Differenzen.) Wenn 7 eine Funk,tiou von X ist, und wenn I, die beständige Zunahme der Siammgröße Xbezeichnet, so wird eine Gleichung zwischen Differenzen im Allgemeinendie Form haben:

b' (x . 7 . ^7 . ^»7 ^ ^

In einer solchen Gleichung kann man die Differenzen ^7, ^'7...durch die auf einander folgenden Werlhe der Größe 7 ersetzen, da manhat:

^7 --- 7- — 7, ^'7 — 7- ^ 27. ^ 7. ». f.,so daß also jene Gleichung die Gestalt annimmt:

l>, 7, 7,, 7., . . .) — 0,und aus dieser Form sieht man, daß jede solche Differenzengleichungden Werth der gesuchten Funktion durch eine bestimmte Anzahl der die-ser Funktion vorhergehenden homologen Funktionen gibt. Ist z. L. diegegebene Gleichung der ersten Ordnung , so wird man aus ihr die Größe7, durch 7 ausgedrückt erhalten; ist sie der zweyteu Ordnung, so wirdsie den Werth von 72 durch 7, und 7 geben u. s. f. Jede solche Glei-chung ist daher einer Reihe gleich, in welcher man jedeZ Glied durcheine bestimmte Anzahl der vorhergehenden Glieder erhält. Denn istz. B. die Gleichung 72 — k(x, 7, 7,) gegeben, so kann man darausdie folgenden ableiten:

7- — k (x -j- I-, 7,, 7.); 74 --- k (x -s- 21,, 7., 7^) «. f.