462 H. 243.

Z. 248. (Bestimmung dieser Integrale durch Oit't'eren-tialglciel)nngen.) Im Vorhergehenden haben wir, durch Differen-tiation oder Integration in Beziehung auf eine Constante irgend einesbereits bekannten Integrals, mehrere andere Integrale abzuleitengelehrt. Allein selbst wenn das gegebene Integral noch unbekanntist, läßt sich dasselbe, durch Differentiation der Constanten, auf eineDifferentialgleichung zurückführen, die dann, wenn man sie integrirt,den gesuchten Werth des gegebenen Integrals gibt. Sey z. B. dasunbekannte begräuzte Integral

sin. nx ^

ck 0

0 ^ (l»2 4. x")

gegeben, welches wir der Kürze wegen 7 nennen wollen. Differentiirtman diese Gleichung

5IN.NX

V mn I st. X

ck 0 5 (IN- 4- x2)

in Beziehung auf s, so erhält man

^llzX cos. NX

(N - /7

I„2 -P

llx.

Allein nach §.248 hat manalso ist auch

cos. nx ^ 71clx —

s" . ,

>/ u 4- X - 2 I I,

X (1 2 III

Integrirt man diese Gleichung in Beziehung auf a, so erhält

man

V -X- -s- <ü.

2 I„2

Die Constante der Integration aber wird dadurch bestimmt, daß,nach der gegebenen Gleichung, die Größe / zugleich mit s verschwin-den soll, wodurch man erhält C —-^7, so daß daher das gesuchteIntegral seyn wird

VO sin. a x 71 ^

elx — 7 s» —

g X (n,2 -s- x2) 2 11,2

I. Auch die Integration der partiellen Differentialgleichungen