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H. 174-

src. cos. — x)^2ux — x-

gefunden, so daß man daher hat

I' — UM — ? a (» — b>) arc. cos. ' ^ ^

— — la— ^>) (u— x)V^2s x — x" . . . (l).

2 a

Für x----l gibt dieser Ausdruck die Fläche ^L IZ^^^s(s—b>)-r,und wenn man diesen Werth vier Mal nimmt, so erhält man für denRaum, der zwischen dem Kreise und der ganzen Ellipse enthalten ist,den Ausdruck

a (a — l>) ??.

I. Noch einfacher gelangt man zu demselben Resultate, wennman die oben (§. 174, l) für den Kreis und für die Ellipse eingeführ-ten Bezeichnungen gebraucht. Dann ist nämlich

X — u cos. ^----asin.x und 7/ — b siii, H-,also auch

^ (7 — 7>) d x — g (a — I,)^d x sin.2 5> oder? — ^-a hs — l?)(?— -s. sin. 29) . . . (Ii),wenn i? mit 9> zugleich verschwindet. Für ?> — erhält man dieFläche — b>)n-, wie zuvor.

Setzt man in dem letzten Ausdrucke (II) von l? für cos. den

Werth - , so ist sin. x ^2 a X — x2 und

2 (a ^ x) --

sin. 2 <v — 2 sin. s cos ? — — 2 ax .— x^.

s-

!> X

Substituirt man diese Werthe von x svc. cos. —-— und von

sin. 2? in der Gleichung (II), so erhält man die Gleichung (I) wieder.

II. Denselben Ausdruck der Quadratur

5'

wird man auch in allen denjenigen Fällen anwenden, wo die Curve,deren Quadratur man sucht, von der Are der x nicht geschnitten wird,sondern z. B. als eine geschlossene krumme Linie ganz über oder unterdieser Are liegt, vorausgesetzt, daß die Ordinate 7 der Curve für jedeAbscisse x einen doppelten Werth gibt. So hat man für einen Kreisdes Halbmessers s, wenn man die Abscisse» — x (Fig. ä?) aufeiner seiner Tangenten nimmt, für die Ordinate 7 — .1Setzt man daher