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XX.

Integration der rationellen Funktionen.

Z. i3y. (Zerlegung gebrochener rationaler Funktionenin ihre binomischen partialbrüehc.) Wenn in dem Integrale/XNx die Größe X eine ganze oder auch eine gedrochene rationaleFunktion von x ist, so laßt sich ein solches Integral immer auf die

Form

<Va-I-l> x)"><Z x oder l

d x-j - I) x)m

zurückführen, und da diese Integrale schon oben (H. >36, t) gegebensind, so kann auch die Integration der rationellen Funktionen als ge-geben angesehen werden.

/^x

Sey nämlich ^ — ! —3x und X sowohl als auch X^ eine

. x .

ganze rationelle Funktion von x. Man kann diesen Bruch ^77 immer

so amichmen, daß die höchste Potenz von x im Zähler kleiner ist, alsim Nenner, da, wenn dieses nicht statt haben sollte, die Division vonX durch X> sofort einen anderen Bruch geben wird, welcher die ange-führte Eigenschaft hat. Wäre z. B.

? --

gegeben, so erhält man durch Division

wo der erste Theil /xäx ^.^x- sich nach §. i3k» integriren läßt.

Einen solchen Bruch ^7, also vorausgesetzt, zerlege man den

Nenner desselben in seine einfachen Faktoren

a -s- k>x, -s- k><x, -s- bi^x . . .und unterscheide dann folgende Fälle.

l. Wenn alle diese Faktoren unter sich ungleich sind, so setzt

man

X' z kl X ^ -0 -j- m X ^ s" -tz. N" x ^