2^6 F. 128.

Die Gleichung derselben in dem Punkte der Curve, dessen Coor-dinaten x, 7, 2 sind, wird die Form haben:

2 — 2^ ------ X (x — x^) -s- u (7 — 7/).

Disserenrürt man diese Gleichung zweymal in Beziehung auf xund 7, so erhält man, wenn man kein erstes Differential constaucvoraussetzt:

82 — ^ 8 x -s- L87,

8^2 — X8'x -j- Ii 8»/,

woraus folgt:

, 8?8-v — 8v8-s ^ 8x8-2 — 8 2 8-x

^ ^ ^und L ----- -—- ——.

8x8-)' — 8 )' 8- x 8x8-)- — 8 7 8- x

Setzt man daher der Kurze wegen

X ----- 8)'8-2 — 828^7,

X ---- 82 8-x — 8x8^2,

^ — 8x8^7 — 878'x,

so erhält man für die gesuchte Gleichung der Krümmungsebene, oderwie sie auch genannt wird, der Osculationsebene

(x^ — x) X -j- (;>/ — 7) X -tz- (2/ — 2) 2 ^--- 0,in welcher man eines der erstenDifferentialien, z.B. 8x, als constantannehme», also 8"x----o setzen wird. Diese Gleichung gibt ein Mit-tel, zu entscheiden, ob eine Curve von einfacher oder von doppelterKrümmung ist, da im ersten Falle die Osculationsebene für allePunkteder Curve gelten oder dieselbe bleiben muß.

F. ,28. (Krümmungskreite dietcr Curve.) Um denjenigenKreis zu finden, der mit der Curve von doppelter Krümmung eine Be-rührung der zweyten Ordnung hat, werden wir nicht nur die Größedieses Kreises oder seinen Halbinefier und den Ort seines Mittelpunkts,sondern auch die Lage seiner Ebene im Räume bestimmen müssen, unddaher für die Gleichung dieses Kreises das System einer Kugel, undeine durch den Mittelpunkt dieser Kugel gelegten Ebene nehmen. Istp der Halbmesser dieser Kugel, und sind a, d, a die den Größen x,7, s parallelen Coordinaten des Mittelpunkts derselben, soistdieGlei-chung der Kugel

(x — g)'- -j- (7 — l.P 4- 0 — 0)- — p-.

Die Gleichung einer Ebene aber, die durch den Mittelpunkt die-ser Kugel geht, wird die Form haben: