§. 126 — 12?. 2Ü5

X, 2 seyn. Nennt man also auch a, fZ, die Winkel, welche dieTangente mit diesen drey Aren der x, 7, ii bildet, so hat man

cl x ^ ^ ü?.

cos. cr — , cos. O — -I— und cos. V --- -—,ck s cks os

und anch durch diese Gleichungen läßt sich die Richtung der Tangentefür jeden Punkt der Cnrve bestimmen. Sie können leicht ans die vor-hergehenden Gleichungen der Tangente gebracht werden, da man hat

— V cos. L .5^ — 2 cos. 7

- - — - und —

x^ — X 008. a x^ — X L08. «

Substituirt man in diesen Ausdrücken die gefundenen Werthe voncos. «, cos.fZ und cos. so erhält man die vorhergehenden Gleichun-gen wieder.

II. Da zwischen diesen Cosinus die Bedingungsgleichung (Einl.§. y) besteht:

cos.2« -f- cos.-jä -f- cos.')- ,,

so hat man auch

<l 5 ^/ckx^ -s- ck)^ -f- <12^für daö Element des Bogens der Curve.

H. i2b. (Uormalcbeue dieser Curve.) Eine Normale auf eineCurve von doppelter Krümmung zu ziehen, ist eine unbestimmte Auf-gabe, da es unzählige Gerade gibt, welche durch einen gegebenenPunkt der Curve auf der Tangente derselben senkrecht stehen. Aberder Inbegriff aller dieser Geraden bildet eine auf die Tangente senkrechteEbene, oder die N o r m a l e b e n e der Curve. Um sie zu bestimmen,hat man sofort (nach §. > >, I.)

(x >— x^) cos. « -f- (p — 7/) cos. fZ -f- (2 — 2') cos. 7 ---- 0.

Substituirt man in diesem Ausdrucke die vorhergehenden Werthevon cos.«, cos./z und cos.^-, so erhält man

(x — x^) ckx -f- (7 — p/) ckv ^ (? — 2^) ü 2 ^ 0für die gesucht e Gleichung der Normalebene, die durch'den Punkt x/2der Curve geht, und deren veränderliche Coordinaten x/p^ sind.

Z. 127. (Äriimmuugselienc dieser Curve.) Diejenige Ebene,welche durch zwei) nächstfolgende Tangenten einer Curve von doppelterKrümmung geht, heißt die K r ü m m n n g ö e b e»e dieser Curve.