xvu

Tangenten und Krünunungskreise derCurven von doppelter Krümmung.

Z. 124. (Verschiedene Ordnungen der Berührung dieserCnrven.) Da eine einzelne Gleichung zwischen drey veränderlichenGrößen für eine Oberfläche gehört / so gehören zwey solche Gleichungen/wenn sie zusammen betrachtet/ oder als coexistirend angesehen werde»/für den Durchschnitt zwey er Flächen. Dieser Durchschnittwird im Allgemeinen eine krumme Linie seyn, deren Elemente nicht ineiner und derselben Ebene liege» / d.h. sie wird eine krumme Linie vondoppelter Krümmung seyn.

Wenn aber ein Gegenstand/ wie z. B. eine solche Curve von doppelterKrümmung/ durch zwey Gleichungen ausgedrückt wird/ so kann er of-fenbar auch durch zwey willkürliche Combinationen dieser Gleichungenausgedrückt werden. Am einfachsten wird man im Allgemeinen diesebeyden Gleichungen darstellen, wenn man auS der ersten z.B. die

dem kleinsten Werths von N entspricht / die Curve der größten Krüm-mung, und die dem größte» Werths von Ii entsprechende, die Curveder kleinste» Krümmung heißt. Haben diese beyden Werths von Iidasselbe Zeichen, so sind jene beyden Curven in demselben Sinne ge-krümmt, so wie im entgegengesetzten, wenn sie verschiedene Zeichenhaben.

Wenn man endlich zwischen der Gleichung der gegebenen Fläche,und zwischen den vier Gleichungen (3), (S), (b) und (3) des §.>22

d v

die vier Größen x, 2 und — eliminirt, so erhält man, durch

die Coordinaten x^?/ ausgedrückt, die Gleichung derjenigen Ober-fläche, welche der Ort der Mittelpunkte aller Krümmungskreise jenerCurvenpaare ist, die auf der gegebenen Fläche gezogen werden können,und diese neue Fläche wird im Allgemeinen ans zwey Theilen bestehen,von welche» der eine alle Mittelpunkte der größten Krümmung, undder andere alle Mittelpunkte der kleinsten Krümmung enthalten wird.