§. 122. 255

Da aber für auch ^ ^ —o ist, so ist die Tan-

gente des letztgenannten Winkels unendlich oder die beyden Cnrvcn dergrößte» und kleinsten Krümmung der Fläche stehen in ihrem Durch-schnittspunkte auf einander senkrecht.

§. >22. (Andere Ableitung des Halbmessers dieser Kugel.)Stellt man durch x/2 die Coordinaten eines gegebenen Punktes derFläche und durch x/^/2' die des Mittelpunktes einer Kugel vor, diedurch jenen Punkt der Fläche geht und k zum Halbmesser hat, so ist

(x —x'P -j- (7 — 7')" ch- (2 —2/P — ... (>).

Differentürt man diese Gleichung partiell, so hat man

X —X/ -s- x (2—2/) — o ... (2),

7 — 7' ch- x (2 —2') — o ... (3),

welche beyden Gleichungen, nach §.>>7, den Normalen der Flächein dem gegebenen Punkt angehören.

Geht man aber von diesem Punkte der Fläche zu einem nächst-folgenden in irgend einer willkürlichen Richtung über, so werden dieNormalen der Fläche in diesen beyden Punkten nur dann einanderschneiden, wen» stch diese beyden Normalen in einer und derselbenEbene befinden, und dann wird dieser DurchschnictSpnnkt der beydenNormalen derjenige Punkt der ersten Normale seyn, sür welchen dieCoordinaten x/7/2/ sich nicht ändern, während x und 7 sich ändert.Denn in den Gleichungen (2) und (3) sind x^'?' die veränderlichenCoordinaten einer und derselben Normale, während die Größen X)'2und xg, die zu einen bestimmten Punkt der Fläche gehören, für die-selbe Normale constant und nur dann veränderlich sind, wenn man voneiner Normale zu einer anderen übergeht. Differentürt man also dieGleichungen (2) und (3), indem man x/)'/--/ als constant betrachtet,so hat man

llx -j- gel 2 -s- (2 — 2>) llg — 0,

67 -s- gll2 -s- (2 — 2/) ll es — o.

Eliminirt man aus diesen beyden Gleichungen die Größe 2 — 2/,so erhält man

llj, (c>7-j-gc>2) — llg (el xp (Z 2) ... (st).

Man hat aber, nach h. inst, die allgemeinen Bezeichnungen