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so erhält man

sx— «)c!x -j- ()-— st)ü)^ — (x— u)<la — s)-— st) ü st ^ 3 ü s>und

ck x^ -s- c! )-^ -s> s)- —' /3) ü^ )- — cl«cl x — cl st ck )- o,und diese Ausdrücke gehen mittelst der Gleichungen (2) und (3) in fol-gende über -

(x — a) c> a -j- ()- — st) ä st -s- ü-- 0 . . . (/,)claüx — clstck)- ^ o . . . (6).

cl Z ^ ^

Die letzte gibt ^ welcher Ausdruck die Gleichung

st — 7 -- ^in die folgende verwandelt:

und diese letzte Gleichung zeigt, daß die Normale mM der Evolventezugleich eine Tangente der Evolute ist (H. 91).

IV. Substituirt man den letzten Werth von 7—st in die Glei-chungen (>) und (4), und eliminirt dann x — a, so erhält man

ü ll a" -s» cl st^.

Da aber das Differential eines Bogens, oder da <ls überhauptgleich v/ctx- -j- cl^'- ist, so zeigt die letzte Gleichung, daß der Halb-messer des Osculations-Kreises der Evolvente sich um dieselben Unter-schiede ändert, als der Bogen der Evolute.

AnS III. und IV. folgt, daß ein vollkommen biegsamer, um dieEvolute m nVin" gelegter Faden, wenn er von derselben frey abge-wickelt wird, so daß er in jedem Punkte, wo er die Evolute verläßt,eine Tangente derselben ist, mit jedem seiner bereits abgewickeltenPunkte die Evolvente der Curve NlVC... beschreibt; eine merkwürdigeEigenschaft, die bekanntlich in der Mechanik bereits eine sehr sinnreicheAnwendung gefunden hat.

V. Man sieht daraus zugleich, daß alle Evoluten rectificabelsind (§. 33, Tx. I!.), das heißt, daß man die Länge dieser Curve Zwi-lchen zwey gegebenen Punkten derselben durch eine gerade Linie messenoder angeben kann, weil die Zunahme des Bozens der Evolute gleichder Zunahme des Krümmungshalbmessers der Evolvente ist, und weilder Krümmungshalbmesser einer jeden Curve immer angegeben werdenkann, da er bloß die Anwendung der Differentialrechnung erfordert.