§. 07-

wie zuvor.

Z. y7. (Evalilten der siruuunell Llllieil.) Da die Größen «und sä, oder da die Coordinalen des Mittelpunktes des Osculations-Kreises Funktionen von x und /, also auch, vermöge der gegebenenGleichung der Curve zwischen x und bloße Funktionen von x sind, soändern sich jene beydeu Größen, so wie sich x ändert, oder wie manvon einem Punkte der Curve zu einem andern übergeht. Die Aufein-anderfolge aller dieser Mittelpunkte des Osculations-Kreises einer Curvebildet daher wieder eine andere Curve, die man die Evolute oder dieAbgewickelte der gegebenen Curve nennt, so wie diese wieder dieEvolvente der Abgewickelten heißt. Sind mU, (Fig. 3b)

die Krümmuugshalbmeffer der Curve AIM/, so ist die Evol-

vente, und m m/die Evolute, wo —x, die senk-

rechten Coordinaten der Evolvente, und — a, pm ^ /Z die ana-logen Coordinaten der Evolvente sind.

Diese beyden Curveu haben mehrere merkwürdige Relationen un-ter einander, die man leicht aus den drey Gleichungen (^.) des §.kenneu lernt. Setzt man, wie gewöhnlich, ckx constaut, so sind dieseGleichungen:

(x —«)"- -s- (7—/ZP ^ . f.),

(x —«)üx -ch- o . . . (2),

clx^ -s- cl^^ -s- (7—/Z)ä-7 — c> . . . (3).

I. Elimiuirt mau nämlich zwischen der in x^p gegebenen Glei-chung der Evolvente und zwischen den Gleichungen (2) und (3) diebeydeu Größen x und 7, so erhält man eine Gleichung zwischen « undsä, die daher die Gleichung der Evolute seyn muß.

II. Da die Gleichung (2) auch so ausgedrückt werden kann:

sä _ 7 ^ ^(«-x),

so gehört sie (tz. yi, I.) für die Normale m U der Evolvente, d. h.für die gerade Linie, die von dem Punkte in, dessen Coordinaten -rund /I sind, senkrecht auf die Evolvente gezogen wird.

III. Disferentiirt man die beyden ersten Gleichungen (1) und (2)nicht bloß in Beziehung auf x und sondern auch in Beziehung aufdie Größe a, sä und da die lctztcrn Größen Funktionen von x sind,