Z. L2.

schenwerthe von x« bis x„ -s- clx^ übergeht, so sieht man leicht, daßdie Größe

k (x„ -I- cl x^) — kx„

Q

äx'^

innerhalb denselben Gränzen immer positiv sepn muß, so wie sie im

^ X

Eegentheile, wenn u den größten Werth deö Quotienten ^ ^ ^ -

bezeichnet, immer negativ seyn wird, woraus folgt, daß der Werthdeö Ausdrucks

t -t- Sxo) — kxgäx^

immer zwischen den größten und kleinsten Werth fallen muß, den

X

von x-^- Xx, bis x Xg -l- 6 x„ erhält, und daß man

I.2 .3 ...H

daher die Gleichung hat

s(x„ -P U xo) — fx^ ^ Q (x„ -t- ö. n x^)clx^ " i.2.ci... ii ^

wo g irgend ei» zwischen o und I enthaltener Bruch ist, immer voraus-gesetzt, daß die Größen k^ --- k"x„ ---- ll^ig . . . k"^> x^ sämmt-lich gleich Null sind.

Wendet man dieß auf die vorhergehende T a y l o rsiche Reihe an,so sieht man, daß dieselbe, vollständig auSgedriickt, folgende Form hat:

k (x-^- clx) --- kx -st k^x. clx >s- ^ . üx^ -s- ^ ^ ^ k">x . clx^ -s- . . .

-l ^ k"^' x. clx"^' -l k"(x-l-gilx). clx".. kl)

^ i . 2.3... (II i) ' i . 2 .3... II ^ ^ ^ ^

Einen ähnlichen Ausdruck erhält man auch für die oben (H. 40)gegebene Reihe M a c l a n r i n's, wenn man in dem vorhergehendenx-^o, und dann, der Einfachheit wegen, x statt clx setzt, so daßman hat

kx — k 0 -s- x.lVo -!—— . k" c> -I --— . k"/ 0 -s- . . .

1.2 ^1.2.3 "

^ .t°-o -I ^ . k"(gx) . . . (II),

1.2.3...11—i 1.2.3...11

wo die Ausdrücke chc>, l>/o, . . . anzeigen, daß man, nach der Dif-ferentiation, die Größe x gleich Null setzen soll. Setzt man in demletzten Ausdrucke nach der Ordnung v — 1 ,2 ,3,..., so erhältman

kx ko xt^(gx),