142 §. «2.

als den gesuchten Werth von 01, für äx c>, so daß man daher hat

k (x -I-<1 x)—sx—.t^x.ckx— ^f"x . ckx- I . , ll

— ! t t — f/// x -s- <x>2 . ll x,

Nx'- 2.Ä ^2

Fährt man so fort/ so findet man allgemeink(x-s-üx)---5x ss-^x.äx -s--^-k"x.ckx" -j- t'/" x. elx-^-...

4- 7 k" X . cl xn -l- call—, 6 x"-b>,

1.2. 3...II

und dieß ist der vollständige Ausdruck desT a >) l 0 r'schen Theorems.Wenn das letzte Glied ca„—, c> x"-k" für ein unendlich großes n ver-schwindet, so geht diese Reihe in die oben (h. 3c>) gegebene über. Wenn, dieß aber nicht der Fall ist, so ist es, wie man sieht, von großer Wich-tigkeit, den Werth dieser Ergänzung für jeden besondern Fall bestim-men zu können.

Zu diesem Zwecke bemerken wir zuerst, daß die Größe kx, wennx allmählich in x -j- <1 x übergeht, immer wächst oder immer abnimmt,je nachdem l^x, innerhalb derselben Gräuzen von x und x-s-ckx,stets positiv oder stetö negativ ist, wie dieß schon unmittelbar aus demAusdrucke folgt

k(x-I-ckx) - kx ^ ^rix

Betrachten wir nun die Funktion P2 -^-ksx-s-2)— 3.2°, wou eine Constante und n eine ganze positive Zahl bezeichnet. Die n aufeinander folgenden Differentiation dieses Ausdrucks in Beziehung auf2 sind:

P/?. ^ l?(x-j-2) — n 3 2"—>,

P//2 ^ k^sx-j-2) — sn l)n3 2N^-l,

P///2 " sx-j- 2) stt 2)sn ,)N S2»^ ,

PN—1 2 — k»—,^-s-ii) I . 2 . 3 . . . sn l)n32/

PN 2 ^ l "sx -j-2) — I . 2 . 3 . . . sn — i)na.

Ist nun der Ausdruck kx der Art, daß die Differential - Coeffi-cienten k^x, k"x, . . . bis k"^'x für einen bestimmten Werth vonx----Xll verschwinden, so werden auch alle diese Größen ^2, P°2, ...bis P"-^> 2 verschwinden, wenn man in ihnen x —x^ und 2 — 0 setzt.Dieß vorausgesetzt, fiy nun 3 der k l e i n st e Werth, dessen der

^ ^ X

Quotient ^ ^ 7 fähig ist, während die Größe x durch alle Zivi-