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k (x -ff 3x) kx -ff x. 3 x -ff ^ x. 3 x^ -s -—^ x . 3 x^ -ff...,

so daß demnach die Größe

ksx 3- 3 x) — kxc!. x

aus zwey wesentlich von einander verschiedenen Theilen besteht, wovonder eine k-'x von 3x ganz unabhängig ist, während der zweyte, denwir durch ^>3x bezeichnen wollen, bey dem unendlichen Abnehmen von3x selbst unendlich klein wird. Wir können daher annehmen

k(x 3- 3 x) — kx

— Ux -I- c^3x oder

3 x

k (x -I- 3 x) — kx — 5' X. 3 X ^

3x-

Ist aber 3x unendlich klein, so wird in dem letzten Ausdrucke derZähler sowohl als auch der Nenner gleich Null, oder man erhält denunbestimmten Ausdruck Um den wahren Werth von zu er-

halten, wird man also, nach §. ?3, das Differential dieses Zählersdurch daS Differential deS Nenners dividiren, wodurch man erhält

k' tx u. 3 x) — k' Xca ^ - ;

2 ll X

und da auch dieser 'Ausdruck, für ein unendlich kleines 3x, noch ^gibt, so wird man dasselbe Verfahren auch auf ihn wieder anwenden,und in dem so erhaltenen Resultate ^l>(x -ff 3x) die Größe 3xx^osetzen, wodurch man also

ca — ^k^x

als den gesuchten Werth von a> für 3x — <z erhält, so daß man da-her hat:

k (x -ff 3 x) — k X — X . 3 X 3^ ^ ^

Diesem gemäß werden wir also, wie zuvor, setzen können

k(x -ff 3x) — kx — Ux. 3x

— — -t"x -ff ca,. 3 x oder

3 X» - , -

k (x -ff 3 x) — kx — k^ X . 3 X — ^ k'^ X . 3 X- x— — ca,.

3x^>

Der letzte Ausdruck nimmt aber für 3x —o die Form ^ an,und er thul dieß auch, wenn man den Zähler und Nenner dessel-ben noch zwey Mal differentiirt. Erst die dritte Differentiation gibt

Qi, ^ f"/x

?,. 3