152 §- ??.

wobey vorausgesetzt wird, daß x —o gebe 7^-II(v>), und daß dieserWerth von 7 —ll'(vi), ^ und u substituirt, 2 und II geben soll.

Dieses sehr allgemeine und wichtige Theorem ist von Lagrangegefunden, und später von Laplace in der hier vorgetragenen Gestaltdargestellt worden.

A. 77. (Speciellc Fälle des oorhergehenden allgemeinenTheorems.) I. Ist vie Gleichung 7 — vi -s- x^-s)') gegeben, undsucht man u—i/>l)) in eine nach den Potenzen von x fortgehendeReihe zu entwickeln, so ist hier 2 — ^(7), und unter der Voraus-. setzung x---o hat man

7 — vi, also auch 2 ^ ?(^) und II --- ^("),so daß daher die gesuchte Reihe ist

. ^X

^(7) -i- ^7^- V 777^/

^ 77773 ^ ^ V Ü77 /

und auf diese Weise wurde die Reihe zuerst von Lagrauge gegeben.II. Ist die Gleichung x — (7— gegeben, und sucht man

u ->l>v, so hat man auch 7 vi -I- —, und daher ist 2 — —.

?7 ?7

Für x —0 aber erhält man

7 — vi, 2! — s^vi)-^' und II — ^-vi,so daß man daher hat

ij-7 --- <^>vi -j- x^vo)— .

77^)

und so fort für mehrere andere Formen, die man der ursprünglichenGleichung 7 — ? -s- x? 7) geben kann.

Wir wollen nun daö Vorhergehende aus einige specielle Beispieleanwenden.

(^.) Sey zuerst die Gleichung v> — 7 -s- 7» — c> gegeben. Mansuche den natürlichen Logarithmus von 7.

Vergleicht man dieß mit der Gleichung vi — 7 -j- 5x7 — u inh. 77 , l., so erhält man