125 H. 75.

IV. Setzt man aber oder K —log. nat. a, so Hot man

<l' — » -s--(Iog.nctt.s) -s--^-(Iog.nat.aP -s-—^—-(log.nat. s)^ -j-...

und denselben 'Ausdruck für die Erponentialgröße a* haben wir auchoben (h. 43) gefunden.

V. Setzt man endlich in dem letzten Ausdrucke (Nr. I V.) die Größex —n und s---i-s-x, so hat man, wenn wieder log. statt log. nst.gesetzt wird:

(. -j- x)n ---- l ,0Z. (l x) -s- log.^ (t -s- x)'- -s- . . .

Da aber bereits oben (Nr. II.) erhalten wurde

, I X > NX , II . n I ,

(' -l- x)" -- , -s- — -j X- -f. ... ,

so hat man, wenn man bcyde Ausdrücke einander gleich setzt:

log. (, -s-x) -s. log.- (. -s- x) -s- -^-^Iog.2(i -s- x) -s- ...

— x-s-(n—,)^-.-s-(n— ,)(» —2)—^-s- ...;also auch, wenn man in diesem Ausdrucke n-^o setzt:

wie auch bereits oben (H. 42) gefunden worden ist.

Z. 74. (Erweiterung von Mliciaurin 's Theorem). Bezeich-net zuerst u irgend eine Funktion von x, die man in Beziehung auf diePotenzen von x entwickeln will, so wird diese Entwicklung im Allge-meinen die Form haben:

u — v -s- XH. -s- X-H2 -j- x°Hz -s- . . . -s- X"H„ -j- . . . ,

wo II HlH2 Hz... von X unabhängige Größen bezeichnen.

ES ist klar, daß N der Werth von u für x —0 ist. Differentiirtman aber den gegebenen Ausdruck von u mehrmal »ach einander, soerhält man:

lt u

— — H, -j- SXH. -s- 3x"-Hz -s- . . . ,

^7 — 2 -j- 2 . 3 XHz -s- 3 . 4x^ H^ -s- . . . ,2 . 3 Hz -s- 2 . 3 . 4 XHz ,