114 §. 70.

(-s- ,)» cos. 2rn?r -s- p/ — > . sin. 2 rn?? lind^— 1)" cos. s2 r -s- 1) n ?r -s- z/ — » . sin. (2 v -s- 1) n ?r.

Da man aber für jede ganze Zahl n hat:sin. 2 r n -r sin. s2 r ss- 1) n ?r 0 , cos. 2 ru ?r --- > ,und endlich

cos. (2 v -s- 1) nck^ idas obere oder untere Zeichen, wenn n gerade oder ungerade ist, so istauch für jede ganze Zahl n

s-j- 1)" --- », (— ,)--- --- » und (— i)""b> — — >,wie bekannt.

Allein wenn n keine ganze Zahl ist , so müssen diese Potenzen derEinheit, da die willkürliche Zahl r von —cxo bis -s-cx> wachsen kann,im Allgemeinen unendlich viele Werthe anzunehmen fähig seyn. Dochkann es sich ereignen, daß bey den Sinus und Cosinus der Bogenscnn- und (2,-s- 1) n?? eine periodische Wiederkehr eintritt, und daßdaher auch die Werthe von (ss->)" und (—1)" sich periodisch wieder-holen. Um dieß zu untersuchen, wollen wir bemerken, daß zwey Kreis-bogen nur dann durchaus gleiche trigonometrische Funktionen haben,wenn sie um ein Vielfaches der ganzen Peripherie 2 ?r von einanderverschieden sind, oder wenn man die beyden Bedingnngsgleichungen hat:2 i'n ?? — 2r^nn- — 2b^ unds2 r -s- I) n ?r — s2 1'/ -s- I) n?r — 2 Ir??,wo Ii irgend eine willkürliche ganze Zahl bezeichnet.

Diese beyden Gleichungen lassen sich aber, wie man sieht, ansdie einzige

(r —i-/) n ^ k oder n ^

— 1^

zurückführen, und aus dieser Gleichung folgt, daß bey den Potenzens-s- >)" und (— >)" eine periodische Rückkehr derselben Werthe dannStatt haben werde, wenn n ein rationaler Bruch ist. Ist alson eine irrationale Zahl, so ist die Anzahl jener unter sich verschiedenenWerthe in der That unendlich groß.

Sey also, um jenen Fall näher zu untersuchen, n irgend ein ra-tionaler Bruch —, wo b und m die kleinstmöglichen ganzen Zahlen

bezeichnen, deren Division diesen Bruch — gibt. Dieß vorausgesetzt,ist nach dem Vorhergehenden