§. 68. III

g, t>g. (Zusammenhang der trigonometrischen Funktio-

ncn mit den Evponcntialgröhcn und den Logarithmen.)

Wenn man die Reihen, welche wir oben (h. 44 und 4S) für e' und

sin.x, 008.x erhalten haben:

--- > -s- x -s—-—s- - - -' 1.2'

x^ ,

sin.x — x — -l- . . .

1.2.6

ev8. x — 1 ^ .

1.2 ^

unter sich vergleicht, so bemerkt man sofort, daß, wenn man x/—1statt x in diesen Anödrücken setzt, die Gleichung erhalten wird^ ' --- oos. x -s- —1 . 8in.x,

also auch, da X ganz willkürlich ist, und daher auch gleich —X gesetztwerden kann:

x V—- — cos. x — —1 . 8in. x,

und diese beyden Gleichungen geben sofort auch die folgenden, in wel-chen wir der Kürze wegen A statt /—1 gesetzt haben:

ek» — e— k x -j-- e—

SIN. X — , L08.X —

. I -j- Is . l»N" X

^2 lex 2-— ' 5-,

1 — . tang. x ^

wo A2 ——I, 1^ — — ll, u. f. w.

Auf diese Weise stehen daher die trigonometrischen Funktionenmit den Erponentialgrößen in Verbindung.

I. Wenn man in der vorhergehenden Gleichung

„ 008.x »s- k 810. X

die Größe 008. X-s-Ii 8in.x^ setzt, und dann die Logarithmennimmt, so erhält man

kx — log.^.

Allein die angenommene Gleichung

A 8in. x — ^ -x- x/» — »i».' xgibt, wenn man sie quadrirt,

— 2ll^8in.x -22 1 oder

. Ii(l —z--)

X — L10. 810. -—.

2>

Substituirt man diesen Ausdruck von x in der Gleichung bx — log.^,