110 H. 07.

daö heißt

Xll.(sx) . i , s(x^-l) üx

l—4--z X— s oder ck» —-—- <tx —,

<1 X ' X- X

und davon ist, wie man weiter unten (tz. LoS) sehen wird, der ursprüng-liche endliche Ausdruck leicht zu finden.

Man sieht, wie sich dieses Versahren fortsetzen und auch auf an-dere Reihen vortheilhaft anwenden läßt.

§. 67. (Entwicklung der Oiktcrentialgleichungen in Rei-hen.) Dieses Verfahren, welches gleichsam das Umgekehrte von demim h, 66 Vorgetragenen ist, kann oft mit Nutzen angewendet werden,um den Werth von transcendenten oder andern verwickelten Größen,die durch eine Gleichung gegeben sind, mittelst einer Reihe zu finden.Sey z. B. die Gleichung gegeben

u. sin.2 7 -^-27 — oin. 27,

und daraus der Werth von n durch 7 ausgedrückt zu bestimmen. Zudieser Absicht differentiire man diese Gleichung, wodurch man erhält

3 u cos, 7 sin.^7 -j—— . ein.2 7 4 ein.- 7.

Setzt man nun der Kürze wegen x---sin."^', also auch

— so erhält man<1^

<lu 8 — 6 11 cos. 7 6 — 3osi— 2x)

U x sin.-^ 2x(>—x)

sx(l ^ ^ 6 x) . u ^ o.

Es sey nun

-s- «X -s- /Zx- -s- 7X- -j- . . .),

wo die Factoren «, jZ, 7, . . . noch zu bestimmen sind.

Substiluirt man diesen Werth von n und sein Differential in dervorhergehenden Gleichung, und setzt dann die Factoren der gleichenPotenzen von x, jeden für sich, gleich Null, so findet manü . 8« >osi 12-,

«--Z, 6"^""

und dadurch erhält man den gesuchten Ausdruck

4 , 4-6 , 4-6.8 . , 4.6.8.10 , ,

u — -s- X -s- — x^ 4— — X- -s- . . .

3 " 3.0 " 3.S.7 3.S.7.Y