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oos.2 X — —— (cos. 3 X -s- 3 cos. x),

2^'

so daß man also, wenn n eine ganze, ungerade Zahl ist, jene Reihedoppelt nehmen muß, um den Werth von cos."x zu erhalten. Istaber n eine ganze gerade Zahl, z. B. so hat man

cos.'' x (cos. 4 .x -s- 4 cos. 2x -j- t> ss- 4 cos. 2x ss- cos. stx) odercos.'' x (cos. 4 x -s- 4 cos. 2 x -s- ^. <i),

2^'

so daß man also für gerade n zwar auch die Reihe doppelt nimmt, abermit Ausnahme des mittleren Gliedes, dessen Factor cos. 0 ist. Drücktman daher die Reihe auf folgende Art aus:

> H , s > "tn—0) .

cos."x^ . cos.nx-ss-cos. (n—2)x^ cos. in—4) x

' 1 ^ . 2 ^ ^

1, in—1) (n—2) /

^ sssss^Z ^ ^ ^ ^ - I ,

so wird man diese Reihe nur bis zu jenem Gliede fortsehen, dessen Co-sinus den ersten negativen Winkel enthält, »nd wenn man, für geraden, auf das Glied kömmt, dessen Factor cos. 0 ist, von diesem Gliedemir die Hälfte nehmen.

Auf diese Weise erhält man

2cos.^x — cos. 2x -ss 1 ,

4cos."x — cos. 3 x -s- 3cos. x,

NcosAx cos. 4x -j- 4 cos. 2 x -s- 3,iloeos.^x ^ cos. 6x -s- 6cos. 3x -s- lo cos. x :c.

II. Um daraus die analogen Reihen für sin."x abzuleiten, seheman in dem vorhergehenden Ausdrucke von cos."x statt x die Größe— x, so hat man

sin." x -—- . ^cos. n x — x) -ss. n cos. (n — 2) x — x)

^ " '".2 -l- - -

Um diesen Anödruck einfacher darzustellen, muß man die bepdenFälle unterscheiden, wo n gerade und ungerade ist. Sey also zuersteine gerade, und zwar eine sogenannte doppelt gerade oder durch 4«heilbare Zahl, also n — 4, 3, 12, . . . Für solche Zahlen ist abercos. n x — x) — cos. nx, cos. (n— 2) x — x) — — cos. (n—2) x,cos. (n—4) X — x) cos. (n—4) X u. s. w.,