§. 49. ??

Man hat aber, wie bekannt (Einl. §.19, VI.),

2 sin. X cos. NX — sin. (n-j-i)x — sin.(n —l)x und2 cos. X sin. nX — sin.(n-s-i)x -s- sin. (n.—t)x.

Bringt man diese Umformnng in der vorhergehenden Gleichungan, und setzt dann die Factoren der Sinuö der vielfachen Bogen, jedenfür sich, gleich Null, so erhält man

L — n 0,

2 <3 — L(n—1) 0,

3O — L (n— 2) 0,

4 Ii) — v(n —3) — 0 u. f.,

also auch

IZ n ^,

1 . 2

1 . 2 . ()

und daher für den gesuchten Ausdruck von ucos." x — ^ . ^cos. n x -s- - 00s. (n— 2) x

N (N l) xxl ^

-j (Z05.(N 4)X .

In dieser Gleichung ist der Factor V noch unbestimmt. Setztman aber darin x-^o, so hat man

. V . sl -s- ^ -s- "l"-» N(N-.)(N--) , N

' I ^ l.7 ^ I.Ä.3 '

und daraus erhält man (nach h, 4 .1) den Ausdruck , 4.. (> -s- ,)"oder , so daß man daher hat

00s.

r I" , n n (n—i)

" X — — . cos. NX -j— cos. (n— 2) X -s- ——— cos. (n—4x)

n <n—sn — 7.) , X I A

^ 77773 cc>s .(n —bx) -f. , . .

I. Der gefundene Ausdruck von cos."x gilt für alle, auch gebro-chene Zahlen n. Wenn aber n eine ganze Zahl ist, so muß man be-merken , daß man im Verfolge der Glieder dieser Reihe ans negativeWinkel kommt, deren Cosinus von den ihnen gleichen positiven Winkelnnicht verschieden ist. So hat man für n --- 3

cos.^ x ^ — (cos. 3x -f- 3 cos. x -j- 3 cos. x -s- cos. 3 x) oder