?6 §. 49.

und diese beyden Reihen brechen eben in jenen Fällen ab, in welchenihre vorhergehenden corrcspondirendcn ohne Ende fortgehen.

Auf diese Weise erhält man nach einigen leichten Reduktionen diefolgenden Ausdrücke:

00S.2X — 2 cos.- X I,

cos.3x ^ /j.oc>sEx — 3cos. x,cos. 4x — 3 005.4 x — 3 00s.^ x -ff 1,cos. Z x — ibcos.^x — 20 cos.^x -ff 5cos.x !c.sin. 2 x — sin. x (2 cos. x),sin. 3x ^ sin. x cos.^ x—i),sin. 4 x — sin. x H3 cos.^ x — 4lios.x),sin.Zx — sin. xsib cos.^x— i2coa .-x -ffl) ic.

A. 4g. (puteiizen der Sinus und Colmus der einlaccheitKlinket durch die der niett'nehen.) Sey die Funktion u ---cos."xgegeben, so findet man durch Differentiation

cos. x

du

n u SIN. X ^ (Z0S. X 0.

d X

Da man aber bekanntlich hat

cos.^x ^hoos. 2x -ff i),cos.^x — c ^nos. 3 x -ff 3cos. x),cos.4 x ^ ^ (cos. 4x -ff 4 cos. 2 x -ff 3) ll. f.,so wird man daraus durch Analogie schließen, daß cos."x in eineReiheentwickelt werden kann, deren Glieder die Faktorsn

cos. nx, cos. sn — 2) x, cos. sn — 4) ^ / - - -haben werden. Nehmen wir daher für diese Reihe die Form an:n — cos. n X -ff lZ cos. sn — 2)x -ff (3 cos. sn— 4) X -ff . . .,

und suchen wir die Werthe der Coefficienlen L, (3, ... zu be-stimmen.

Substituirt man diesen Ausdruck von u so wie sein Differential3n in der vorhergehenden Differentialgleichung, so erhält mann sin. x cos. n x -ff L cos. sn — 2) x -ff (3 cos. (n — 4) x -ff > . .j— cos. xff n ^ sin. nx -ff sn— 2) L sin. sn — 2) x

-ff sn — 4) <3 sin. sn-^- 4) ^ -ff - - ^