75 §. 58.

Setzt man nun — k — 8, so ist auch 5» — ^ b oder^ 4s — d, wie oben gesagt wurde.

Nimmt man nun zuerst lang, u ^ und dann rang, n -ff,und substilnirt diese Werthe in der vorhergehenden Gleichungu rang, n — ffang.^ u -ff ffangck u, — . . .,so erhält man

(5 ^ ^ s^s? - ^5? 't" ")/

' ff. > ' ^ '

V.2ZY (j (2^9)^ ' 5 ' /)

und durch diese sehr convergente Reihe findet man ohne Muhe für n denfolgenden Werth

i? Z.i4i6g2 (>Z358g 71)8238 4^2648 . . .

Z. 48. (Sinns und Cosinus der nicUochcn lvinkcl durchdir potciycn der cinfnchcn.) Sey die Funktion u^-8>n.x, daöheißt X src. sin. u gegeben: man suche cos. NX durch sin. X, oderwas dasselbe ist, cos.sn sic.sin.n) durch u auszudrucken.

Zu diesem Zwecke nehmen wir an

cos. sn arc, sin. u)---a-ff/8u-ff)-u-»fföu^-ff...,Ivo -1, D, )-,... die zu bestimmenden Coefficienten bezeichnen. Allein mansteht schon ohne eigentliche Berechnung, daß erstens «—1 seyn muß,da für u—0 der Ausdruck cos. sn arc. sin. u)--- 1 wird, und daßzwcytens diese Reihe keine ungeraden Potenzen von n enthalten kann,weil für ff-u und —u der AnSdruck cos, (n arc. sin. u) auch in Hin-sicht auf sein Zeichen derselbe bleibt. Diesem gemäß werden wir daherannehmen können:

cos.sn Si c. sin. u) — I -ff 5 ff- 13 N'! ff- <3 u6 ff- . . .

Differentiirt man diesen Ausdruck, so erhält man

— n sin. sn snc. si». u) — s2^u -ff -st b(3n^ -ff . . .) ^/1 — n- ,und differentiirt man diese Gleichung wieder, so ist

— n- cos.'sn are. sin. u) — s2^u -ff l 2l3n" -ff 3o<3n^ -ff...)s> — U-)

'—(2^,0-ff 4l8n^-s- bt3u^-ff...). u.

Substituirt man in diesem Ausdrucke für cos. (n sic.sin.n) denoben angenommenen Werth > ff- .5 u- ff- 13 u' -ff . . ., so erhält man

n- si-ff^u-ff-IZu'' -ff...) — (2^ -ff > 2l3n- -^-80(30^ -ff...) s,—u")

-ff (25u ff-41>u^-ff b(3u^-ff..,) u — 0.