§. -ii.

n (n - .) X"-.,

^ ^ ' l) (n — 2) x"^3 u. s. w.also ist auch sofort (»ach H.3g)

<x^-/) ° — X" -f. n x'— 7 -s-X""-s- —X""^)'' -j-...

' ^ ' I . 2 ' 1.2.6

und diese Entwicklung der Funktion (x-s-/)" ist unter dem Namen vonNewton's Binom bekannt. Das Gesetz des Fortgangs der Reihe istfür sich klar. Wenn die Glieder derselben in der angeführten Ordnungdurch o, », 2, 3... bezeichnet werden, so ist das rte Glied derselbenn (n — i) sn — 2) sn — 3),.. s» — o— ^ ^ ^l . 2 .3 ... (r— I) r ' ^ '

I. Ist die Größe ^ negativ, so erhält man die analoge Entwick-lung der Größe (x—/)", wenn man in der letzten Reihe die zu demJude).' 1.3.5 gehörenden Glieder negativ setzt.

Nimmt man aber x---», so hat man

, , ^ , , n (n l) . , ntn >)ln z)

1 . ______ ...

oder, wenn man in diesem Ausdrucke i setzt:

, ^ , n sn—l) . ^ . n sn 1) s:3 — 2)^

l)-I- ____

II. Setzt man in der gefundenen Entwicklung / --- , alsoauch x -j- ^ ^ ^ so hat man (x -f- 7)" x". fi — x)^".ES ist aber, nach derselben Entwicklung:

(»—p)-° 1 -l-"l>^ . ^ -I . p' -I- ...

also ist auch, wenn man den Werth von x> — wieder herstellt:

welche Reihe oft viel schneller convergirt, als der oben für (x-s-^)->gefundene Ausdruck.

kll. Diese Reihen sind sehr geschickt, um durch sie die Wurzelnirgend einer gegebene» Zahl zu sindeu. Es war nämlich