§. 4!.

laurin bekannt, obschon er bereits früher von Stirling gefundenworden sey» soll.

Beschließen wir diesen Gegenstand mit der Bemerkung, daß sichdie oben gegebene Taylor'sche Reihe in manchen Fällen, wen» derStammgröße x einer Funktion bestimmte Werthe beigelegt werden,auf die Entwicklung dieser Funktion nicht anwenden lassen. Dießwird nämlich immer dann Statt haben, wenn die wahre Entwicklungder Funktion auf gebrochene oder negative Exponenten von ll führt, diein der Taylor'schen Reihe nicht vorkommen. Ist z. B.

u — ^/x^ —

gegeben, und sucht man

u/ — >/(x -s- t,)' — a-

für den bestimmten Werth von x —a, so hat man

und ein solcher Ausdruck kann durch die Taylor'sche Reihe nicht gegebenwerden. In allen diesen, übrigens selten vorkommenden Fällen, wirdman also die Entwicklung der Funktion ganz auf die gewöhnliche Artvornehmen, so wie es in diesem Beyspiele eben geschehen ist. Wir wer-den später wieder auf diese Bemerkung zurückkommen.

IV.

Entwicklung der Funktionen in Reihen.

A. ssi. (Newton's öilwmlum). Die beyden vorhergehendenTheoreme biethen unS sehr vortheilhafte Mittel znr Entwicklung derverschiedenen Funktionen in Reihen dar.

Sey zuerst die Funktion u ---- k (x) ^ x" gegeben. Man suche--- k (x -s- 7) — (x -s- 7)",

wo n waö immer für eine Zahl bezeichnet.

Nach tz. ug hat man