(>2 Z. 4».

so daß man daher für die gesuchte Entwicklung den folgenden Aus-druck hat:

von welcher Reihe das Gesetz des Fortgangs für sich deutlich ist. Sieist unter der Benennung des T a i) lo r'schen TheoremS bekannt, weilTaylor sie der erste öffentlich mitgetheilt hat. (Andere Beweise die-ses wichtigen Satzes findet man in I-aovoix's ll'iailö clu (Islo. clilck. etintegral. Vol. I. S. ibo u. 277, und Vol. III. S. I>o u. 3gb).

Hat man also die Funktion u —kx gegeben, und geht in ihr dieStammgröße x über in xff-ll, so geht u über in

/äuX I>2 /<>->!> , bZ u>

n/ u ff- Ir -ff- ff- . . .

§. 40. (Maclanriiffs Throrcm). Macht man in dem zuletztgefundenen Ausdrucke die Größe x—o, und bezeichu-et man die dieserAnnahme entsprechenden Werthe von

n durch II,

(W -<N) >

so erhält man sofort

I (7) II ff- 7 . II/ -ff- . II" ff - . II/// -ff- .. .

^ 1.2 1.2.6

Da aber dieser Ausdruck für jeden willkürlichen Werth von 7Statt haben muß, so kann man in ihm anch x statt 7 setzen, wodurchdie Größen II, II/, II//... die kein 7 enthalten, nicht geändert werden.Sind daher, wie zuvor, II, II/, II... die Werthe von

unter der Voraussetzung, daß man in den letzten Ausdrücken die Großex gleich Null gesetzt hat, so erhält man für die Entwicklung der Funk-tion u —k(x) in einer nach den Potenzen von x fortgehenden Reiheden Ausdruck

u — k (x) --- II ff- X . II/ ff- —- . II// ff — . II/// ff- . . .

1.2 '1.2.Z /

und dieser Ausdruck ist unter der Benennung deöTheorems von Mac-