§. 1«.

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Gerado Vv, so ist VR die ?ksymptote der Spirale. Für negative

Werthe von ^ gibt es noch eine zweyte ähnliche Spirale, die gegen dieandere Seite rLIN der Asymptote eben so liegt, wie jene gegenBeydc gehen in unzähligen, immer kleineren Windungen um den Mit-telpunkt e.

IV. (Parabolische Spirale) Fig. 3o. Ihre Gleichung istr» — —.

Auf einem Kreise V ?IZ, dessen Halbmesser gleich der Einheit ist,nimmt man den Bogen V? oder den Winkel VL? gleich V, wo dannder Theil li'Äl deS Halbmessers gleich r ist. Für ^ —o ist auch r— o,und für „----3l>o° ist oder die Curve schneidet für v —o die

Peripherie des KreiseS, und geht für v —2^ durch den Mittelpunktderselben. Für schneidet sie den Kreis noch einmal, und geht

dann in immer größeren Windungen um denselben herum. Es gibt aberauch noch für negative Werthe von r einen zweyten Zweig dieserSpirale, die ganz außer dem Kreise liegt, und wo immer ?m —ist, wenn m in der Verlängerung des Halbmessers LI? deö KreiseSliegt.

Man bemerkt, daß man jede Curve, deren Gleichung zwischenrechtwinkligen Coordinaten x und 7 gegeben ist, in eine Spirale ver-wandeln kann, wenn man sich die Abscissenare derselben nach der Peri-pherie eines Kreises gekrümmt, und ans demselben gleichsam aufge-wunden vorstellt, so daß die Ordinaten der Curve ihre frühere senkrechteStelle gegen die Abscissenaxe, d.h. gegen die Peripherie dieses Kreisesbeybehallen. Ist der Halbmesser dieses Kreises gleich der Einheit, sowird man nur in der gegebenen Gleichung der Curve zwischen x und 7 dieAbscissc x in v und / in r verwandeln, um sofort die Polargleichungder entsprechenden Spirale zu erhalten. So hat man für eine Gerade,die durch den Anfang der Coordinaten geht, und deren Neigung gegen

die Are der x gleich sro. rang.ist, die Gleichung zwischen recht-winkligen Coordinaten x —2^^. Nimmt man damit die angezeigteVerwandlung vor, so erhält man die Polargleichung der Archi-

medischen Spirale. Für die Logistik war (H. 17) x---- I-»g. 7, wenn (inFig. 21) und ist; also ist auch 1- — I0A. i- die Glei-

chung der logarithmischen Spirale. Eben so ist die Gleichung der gleich-seitigen Hyperbel x. und daher die der hyperbolischen Spirale