§. IS. 19
Diese Curve ändert mit den Werthen von s und l, ihre Gestalt. FürI, > a hat sie die in Fig. i> angezeigte Form, so lange zngleichIi > -> /s ist.
Ist aber I>>a und zugleich l><az/2, so ninimt sie die Form derFig. 12 an. Ist k»--a, so geht sie in die Gestalt Fig. ,3 über, wo^ L — ^ e -I z/2 ist. Ist endlich k><g, so besteht sie aus zweyvon einander abgesonderten Ovalen, oder die zwei) Schleifen derFig >3rücken aus einander, so daß der Zwischenraum bey^ gleich s>/^ —l>'und die Entfernung ihre zwey äußersten Punkte IZ L — 2 -z-k>^ ist.Diese Curve, so wie sie die Fig, n darstellt, hat Do min. Cassinigefunden, um dadurch, wie er glaubte, die Bewegung der Planetenum die Sonne auf eine zur Rechnung bequemere Art darzustellen, alsdieß dnrch die Ellipse geschieht.
VI. Die Lemniscate oder die Schle i fenlinie hat ebenfallsdie Gestalt der Fig. >3, und ihre Gleichung ist
X'- -s- y- — ,
wo ^ IZ — e --- 0 ist. Diese Curve hat Jakob Bern 0 ulli zuerstbetrachtet, und Fagnano hat die merkwürdige Eigenschaft derselbenentdeckt, daß sich in ihr unzählig viele Bogen angeben lassen, die einan-der entweder völlig gleich, oder von welchen der eine genau doppelt sogroß ist als der andere. Leonh. Euler hat dieß weiter ausgeführthin den diovi Onmment. I'etvop, Vol. VI. für daS Jahr i^Sb), undin den neuern Zeircn haben jene Untersuchungen Gelegenheit zu der Ent-Wickelung der sogenannten elliptischen Funktionen gegeben, diefür die Integralrechnung sehr wichtig sind. Ihren Namen hat sie vonI^emni^cus (Fransen oder Schleife» an Gewändern).
VII. Cardioide oder herzförmige Curve (Fig ist). Ist
ein Kreis des Halbmessers und verlängert man die Sehne ^ n zubeyden Seiten derselben, bis nN —so liegen die Punkte lVIiund m in der Curve. Ist —r und —0, wo in dem
Durchmesser k V deS Kreises liegt, so ist die Sehne ^ n — a cos. v,also auch
r ^ u (> ch- cos. v)die Polargleichung der Curve. Für die senkrechten Coordinatenund aber hat man die Gleichung
x» -j- — 2ax^ ^ (s^ ss- 2ax — 2 x-)
Man findet leicht, daß die Cardioide auch dnrch die Bewegung
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