Astronomische Untersuchungen. 267

Wenn Cos. / I' 0 = — 1 wird, so ist ZP1) = 180°,oder die Dämmerung hört gar nicht aut, indem die diele derSonne im nördlichen Meridian unter dem Horizonte nur genau18 Gr. beträgt. Die Foimel giebt Cos. p. Cos. d = Sin. 18° -j"

Sin. p. Sin. d. oder Cos. (p-f-d) = Sin. 18°, das ist p-j-d =

72°. Wenn die Sonne diese Dcclinalion d — 72° — p erreichthat, so längen die hellen Nächte an. Das geschieht also unter49 Gr. Breite am 10 Juni; unter 50 Gr. Breite am 1 Juni; un-ter 52 Gr. Breite am 20 Mai; unter 54 Gr. Breite am 12 Mai;unter 60 Gr. Breite am 22 April; unter 70 Gr. Breite am 26März; unter 80 Gr. Breite am letzten Februar; und am Poleschon am 29 Januar.

4. Diese Bestimmungen betreffen die Dauer der ganzenastronomischen Dämmerung. Will man eben diese Bestimmun-gen für die bürgerliche oder gemeine Dämmerung haben, beideren Ende die Sonne 6% Grad unter dem Horizonte stellt, sodauert diese Dämmerung in 50 Grad Breite um die Nachtglei-che 41 Minuten am längsten Tage, 56 Minuten; am kürzestenTage 48 Minuten; sie dauert in 52 Gr. Breite um die Nachtglei-clie 42 Minuten, am längsten Tage 1 Stunde 2 Minuten, amkürzesten Tage 52 Minuten.

5. Hieran schliefst sich die Frage, zu welcher Zeit desJahres die Dämmerung unter einer gegebenen Breite am kürze-sten ist, oder wann die Sonne vom Horizont an die Tiefe von18 Graden am schnellsten erreicht.

Die Frage läfst sich allgemeiner so fassen: die Polilhöhedes Beobaclitungs - Ortes = p ist gegeben, und zwei Höhen= II und = h; man sucht die Declina Lion — d desjenigen Ge-stirnes , welches in der kürzesten Zeit von der Höhe = H zurHöhe = h hinabsinkt.

Es sey Z das Zenith, P der Pol, Sss der Parallelkreis, k; r .auf welchem das Gestirn seinen täglichen scheinbaren Umlauf 97.vollendet, so lassen sich leicht folgende Sätze beweisen.

1. Wenn s Z P ein rechter Winkel ist, so hat in s der WinkelZ s P einen gröfsern Werth als er für irgend eine andre Stel-lung desselben Gestirns erreicht. 2. Die Aenderung der Höheist in jedem Augenblicke dem Sinus des 'Winkels Z S P propor-tional, also in s am schnellsten und in S und s' gleich schnell,wenn Z S P = Z s' P ist. 8. Nimmt man also S , s so dafs